0

Self-Avoiding Walks on Random Quadrangulations

Video

The local limit of random quadrangulations (UIPQ) and the local limit of quadrangulations with a simple boundary (the simple boundary UIHPQ) are two very well studied objects. We shall see how the simple boundary UIHPQ relates to an annealed model of self-avoiding walk on random quadrangulations, and how metric information obtained for the UIHPQ can be used to study quantities such as the displacement of the self-avoiding walk from the origin, as well as to ultimately investigate how the biasing of random quadrangulations by the number of their self-avoiding walks affects their local limit.

0

Croisements inéluctables et preuves au hasard

Video

14212568_1199046323500737_1042786532754096278_nIf you're ever in Lyon on a Wednesday, make sure not to miss the Séminaire de la détente at the MMI! Cake, tidbits of mathematical fun, plus even a great apéro afterwords: what's there not to love?!
Was so happy to give a talk there in September: thanks to Olga and Marie for the invitation and delicious cake! Here's the abstract and slides (as usual, a version in a better format, possibly with some added explanations – some essential bits were done on the blackboard – may or may not be on the way):

For an English version of the following abstract, click here.

Nous sommes en 1944 ; le mathématicien Pál Turán, qui se trouve dans un camp de travail près de Budapest, est chargé de transporter des briques des fours aux aires de stockage via des chariots sur rails. Chaque four est relié par des rails à chacune des aires de stockage ; pousser les chariots ne demande pas trop d’effort, sauf aux croisements de deux rails, où ils ont tendance à capoter, de sorte que la plupart des briques tombent dehors. Pourquoi – s’interroge Pál – construire ce réseau de manière aussi inefficace, avec tellement de croisements exaspérants ?! Comment pourrait-on minimiser le nombre de croisements, tout en reliant chaque four à chaque aire de stockage ?
C’est peut-être la première question (qui est encore essentiellement ouverte !) portant sur le ’nombre de croisements’, une notion importante en théorie des graphes. En l’étudiant, on va ’croiser’ des artistes constructivistes, des informaticiens, des matheux sceptiques, et on va finalement tomber sur l’une des parties les plus précieuses de l’héritage de Pál Erdős : la méthode que l’on appelle ’probabiliste’.

Corrigé exo 3 feuille 5 (?)

Standard

Une entreprise fabrique des pièces d’usines. Parmi les pièces fabriquées, 90 % satisfont aux normes de qualité, 5 % ne satisont pas à ces normes mais fonctionnent quand même et 5 % sont défectueuses. Pour essayer de connaître la fiabilité du fabricant, un client potentiel choisit au hasard 2 pièces. On appelle X le nombre de pièces défectueuses et Y le nombre de pièces aux normes.
1. Calculer la loi du couple (X,Y) et sa matrice de variance-covariance.
2. Trouver les lois de X et de Y, puis leurs espérances.
3. Retrouver ce dernier résultat en utilisant le principe de linéarité de l’espérance.
4. X et Y sont-elles indépendantes ?

Il est important de bien comprendre la situation decrite dans l'exo : les pièces fabriquées tombent chacune dans une de trois catégories :

  • pièces aux normes (N)
  • pièces fonctionnantes, mais pas aux normes (F)
  • pièces défectueuses (bien sûr, pas aux normes) (D)

Les trois ensambles N,F,D forment une partition de l'ensamble de pièces, au sens où il n'y a pas d'intersection entre chaque couple d'ensembles (il ne peut pas y avoir, par exemple, une pièce defectueuse mais aux normes, ou une pièce qui est dans N et F en même temps).
On prend deux pièces au hazard ; on va les appeler P_1 et P_2. Pour chaque pièce (de manière indépendante) on a P(P_k\in N)=0.9 et P(P_k\in F)=P(P_k\in D)=0.05. On se demande combien de pièces sont défectueuses (X) et combien sont aux normes (Y) parmi les deux pièces choisies, et on cherche à déterminer la loi du couple (X,Y).

Les valeurs possibles pour X sont 0,1,2 : soit les deux pièces sont défectueuse, soit il y a une qui est défectueuse et une qui marche, soit les deux pièces sont fonctionnantes. De même, les valeurs possibles pour Y sont 0,1,2.
Il faut donc calculer P(X=i,Y=j) pour i\in\{0,1,2\}, j\in\{0,1,2\} (c'est à dire qu'il y a 9 valeurs à calculer) ; on va considérer chaque cas :

  • il est immédiat de voir que P(X=2, Y=2)=P(X=2, Y=1)=P(X=1, Y=2)=0, car ces situations sont impossibles : on n'a que deux pièce, et on sait que si une pièce est défectueuse alors elle n'est pas aux normes et inversement ;
  • i=0, j=0 : cela correspond à P_1,P_2\notin D et P_1,P_2\notin N, donc P_1,P_2\in F ; comme P(P_k\in F)=0.05, P(X=0,Y=0)=P(P_1,P_2\in F)=0.05^2 ;
  • i=0, j=1 : on a une pièce aux normes ; comme aucune pièce n'est défectueuse, l'autre pièce doit être dans F (elle n'est pas défectueuse ni aux normes) ; on a donc P(X=0,Y=1)=P(P_1\in N,P_2\in F)+P(P_1\in F,P_2\in N)=0.9\cdot 0.05+0.05\cdot 0.9 ;
  • i=0, j=2 : les deux pièce sont aux normes, ce qui arrive avec proba P(X=0,Y=2)=P(P_1,P_2\in N)=0.9^2 ;
  • i=1, j=0 : une pièce défectueuse, l'autre pas aux normes (mais fonctionnante) ; P(X=1,Y=0)=P(P_1\in D,P_2\in F)+P(P_1\in F,P_2\in D)=0.05\cdot 0.05+0.05\cdot 0.05=2\cdot 0.05^2 ;
  • i=1, j=1 : une pièce défectueuse, l'autre aux normes ; P(X=1,Y=1)=P(P_1\in D,P_2\in N)+P(P_1\in N,P_2\in D)=0.05\cdot 0.9+0.9\cdot 0.05=2\cdot 0.05\cdot 0.9 ;
  • i=2, j=0 : les deux pièces sont défectueuses ; P(X=2,Y=0)=P(P_1,P_2\in D)=0.05^2 .

On trouve donc le tableau suivant pour la loi du couple :

\begin{array}{c|ccc} X\diagdown Y & 0 & 1 & 2 \\\hline 0 & 0.0025 & 0.09 & 0.81\\ 1 & 0.005 & 0.09 & 0 \\ 2 & 0.0025 & 0 & 0 \end{array}

dont les lois marginales et espérances

\begin{array}{c|ccc|c} X & 0 & 1 & 2 & E(X) \\\hline & 0.9025 & 0.095 & 0.0025 & 0.1\end{array}\begin{array}{c|ccc|c} Y & 0 & 1 & 2 & E(Y) \\\hline & 0.01 & 0.18 & 0.81 & 1.8\end{array}

On nous demande aussi de retrouver les espérances en utilisant la linéarité ; ça serait plus simple à faire si on savait ce que c'est que X+Y, mais tout ce qu'on sait est que X+Y\leq 2. Par ailleurs, si on appelle Z le nombre de pièces fonctionnantes mais pas aux normes parmi les deux, on sait que X+Y+Z=2 (le nombre totale de pièces) et on sait aussi que, comme la proba qu'une pièce soit dans F est la même que celle d'être dans D, la loi de Z est la même que la loi de X. On a alors E(X+Y+Z)=E(2)=2=E(X)+E(Y)+E(Z)=E(Y)+2E(X), d'où E(Y)=2-2E(X)=2-2\cdot 0.1=1.8, ce qui est bien ce qu'on avait trouvé avec le calcul direct de E(Y).

Finalement, X et Y ne sont pas indépendants ; cela est bien évident (par exemple, si X=2 alors il est impossible d'avoir Y>0 : plus X est grand, plus Y doit être petit), mais on va calculer la matrice variance-covarance, comme on nous demande de faire dans la première question. On a :
V(X)=1\cdot 0.095+ 4\cdot 0.0025=0.105
V(Y)=1\cdot 0.18+ 4\cdot 0.81=3.42
\operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=1\cdot 0.09-0.1\cdot 1.8=-0.09
La covariance est non nulle, donc X et Y ne sont pas indépendants. La matrice variance-covariance est la suivante :
\left(\begin{array}{cc}0.105 & -0.09\\-0.09 & 3.42\end{array}\right)

Math207 – Corrigé de l'exo 11 (feuille 3)

Standard

Lors de la fête de l'école de Madame Dubois, une tombola est organisée. Il y a deux boîtes de tickets de tombola, une jaune et une rose. Dans la boîte jaune, il y a un ticket gagnant sur trois tandis que dans la boîte rose, il y en a deux sur trois.

1) Un enfant se rend au stand de la tombola et donne son ticket, quelle est la probabilité qu'il gagne un lot? Définir deux espaces de probabilités (\Omega_j,P_j) et (\Omega_r,P_r) correspondant aux contenus des deux boîtes.

Comme d'habitude, il y a plusieurs manières possibles de définir des espaces de probabilité pour l'expérience donnée ; voici deux réponses sur lesquelles réfléchir.

  • \Omega_{j}=\Omega_r=\{P,G\} : en tout cas, les résultats possibles de l'expérience aléatoire sont deux ; soit l'enfant a un ticket perdant soit un ticket gagnant. Ce qui change pour les deux boîtes est la proba que le ticket soit gagnant: on a P_j(P)=2/3 et P_j(G)=1/3, alors que P_r(P)=1/3, P_r(G)=2/3. Ces deux espaces sont parfaitement adaptés à l'expérience "un enfant donne sont ticket, pioché au hasard de la boite jaune/rose", mais on pourrait bien imaginer des univers qui gardent plus d'information sur ce qui est en train de se passer, et qui pourraient être utiles si, dans la même situation (boîte jaune/rose avec un certain nombre de tickets gagnants/perdants), on s'intéressait à une expérience plus complexe (e.g. deux enfants piochent et rendent leur tickets). Par exemple :
  • \Omega_j=\{G_1,\ldots,G_n,P_1,\ldots,P_{2n}\}, P_j uniforme; \Omega_r=\{G_1,\ldots,G_{2m},P_1,\ldots,P_{m}\}, P_r uniforme. Ces espaces gardent l'information de l'"identité" du ticket spécifique pioché par l'enfant (autrement dit, on suppose que les ticket dans chaque boîte soient distinguables, et qu'il y ait 3n ticket dans la boîte jaune – dont n gagnants – et 3m dans la rose – dont 2m gagnants). Pour chaque boîte, la proba à mettre sur l'ensemble des tickets (si l'on suppose qu'un enfant en pioche un au hasard) est uniforme. Si on allait calculer la proba pour l'enfant de gagner avec ces espaces, on devrait calculer P_j(\{G_1,\ldots,G_n\})=n\cdot 1/3n=1/3 (boîte jaune) et P_r(\{G_1,\ldots,G_{2m}\})=2m\cdot 1/3m=2/3 (boîte rose). En fait on n'utilisera pas ces espaces, même si l'on pourrait les adapter au cas de k enfants qui piochent leur tickets, parce qu'on ne connait pas les nombres n, m de tickets dans les deux boîtes : on nous dit seulement que ces nombres sont très grands, ce qui veut dire que la proba de piocher un ticket gagnant ne change (presque) pas même si un certain (petit) nombre de tickets a déjà été pioché de la boîte.

Le nombre de tickets contenus dans les deux boîtes est très grand et on peut supposer que les proportions de tickets gagnants ne changent pas si on enlève vingt-sept tickets de l'une ou l'autre des boîtes. Bien entendu, les enseignants ne sont pas au courant de la répartiton faite par la directrice. Madame Dubois a choisi une des deux boîtes au hasard dans le bureau de la directrice, elle revient dans sa classe et distribue un ticket aux vingt-sept enfants de sa classe.
Le fils de la directrice est au courant de la répartition des boîtes et tient le stand de la tombola, c'est au tour des élèves de la classe de Madame Dubois de venir voir s'ils ont gagné.

2a) Le fils de la directrice compte le nombre de perdants avant qu'il y ait un premier gagnant. Modéliser cette expérience, on notera Y la variable aléatoire, calculer sa loi. (On fera attention à bien distinguer les boîtes
jaune et rose.)

Comment modeliser cette expérience aléatoire ? Quels sont les différents résultats que le fils de la directrice pourrait voir ? Il va noter le résultat de chacun des 27 élèves de la classe (gagnant/perdant), dans l'ordre dans lequel ils rendent leurs tickets. Un univers valable est donc \Omega=\{G,P\}^{27} (chaque élément d'\Omega est une séquence de 27 lettres, chacune égale à G ou P). Si la boîte est la jaune, chaque enfant a une probe de 1/3 de gagner, et donc, étant donné \omega\in\Omega, on a P_j(\omega)=(1/3)^{\# G}(2/3)^{\# P} ; si la boîte est la rose, on a P_r(\omega)=(2/3)^{\# G}(1/3)^{\# P}. Sur cet espace, on veut définir une variable aléatoire Y qui compte le nombre de perdants avant d'avoir un gagnant ; Y(\omega) est donc le nombre de P initiales d'\omega (avant d'avoir un G), par exemple :
Y(GPPGGGPPPPGGGGGGGGPPPGGPPPP)=0
Y(PPPGGPGGGPGPGPGPPPGPPPGPPPG)=3
Y(PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP)=27
L'ensemble des valeurs possibles de Y est donc Y(\Omega)=\{0,1,2,\ldots,27\}, et si i<27 on a P_j(Y=i)=(2/3)^i\cdot 1/3 et P_r(Y=i)=(1/3)^i\cdot 2/3 (proba d'avoir i Ps, puis un G avec la boîte jaune/rose). Comme il n'y a que 27 élèves, on a P_j(Y=27)=(2/3)^{27} et P_r(Y=27)=(1/3)^{27} (proba de l'unique séquence avec 27 Ps). La loi de Y est donc très proche d'une loi géométrique de paramètre 1/3 ou 2/3, sauf que, comme Y\leq 27, il faut calculer P_j(Y=27) et P_r(Y=27) comme l'on a fait, et on a P(Y>27)=0 (ce qui n'est pas le cas pour la loi géométrique, qui peut prendre des valeurs arbitrairement grandes !).

2b) Calculer la probabilité P_{j}(Y\geq3) et P_{r}(Y\geq3)

On a
P_j(Y\geq 3)=1-P_j(Y=0)-P_j(Y=1)-P_j(Y=2)=1-1/3-2/9-4/27=8/27\approx 0,3
P_r(Y\geq 3)=1-P_r(Y=0)-P_r(Y=1)-P_r(Y=2)=1-2/3-2/9-2/27=1/27\approx 0,04

2c) Le premier gagnant de la loterie est le cinquième joueur. Que pouvez-vous supposer ?

On va calculer la probabilité que le premier gagnant soit le cinquième enfant dans le cas de la boîte jaune
P_j(Y=5)=(2/3)^4(1/3)=16/3^5\approx 0,066
et de la boîte rose
P_r(Y=5)=(1/3)^4(2/3)=2/3^5\approx 0,008.
On voit que la proba de Y=5 quand la boîte est rose est extrêmement petite, et que la proba du même événement dans le cas de la boîte jaune est 8 fois plus grande. Par conséquence, on peut supposer que la boîte choisie par Madame Dubois soit la jaune.

Le fils de la directrice est quasiment sûr que Madame Dubois a choisi la boîte jaune, on va donc travailler avec cette hypothèse dans cette question.

3a) Les vingt-sept enfants de la classe de Madame Dubois ont donné leur ticket de tombola, quelle est la loi du nombre de gagnants ? On notera X cette variable aléatoire et on calculera sa loi, son espérance et sa variance. (Bien justifier le calcul de la loi.)

On va utiliser l'espace probabilisé décrit lors de la question précédente, et on va définir X(\omega) comme le nombre de G qui apparaissent dans la séquence \omega ; on pose P=P_j. On a donc
P(X=k)=\sum_{\omega\mbox{ avec $k$ Gs}}P(\omega)=\sum_{\omega\mbox{ avec $k$ Gs}}(1/3)^k(2/3)^{27-k}=\#\{\omega\in\Omega\mbox{ avec $k$ Gs}\}(1/3)^k(2/3)^{27-k}={27\choose k}(1/3)^k(2/3)^{27-k}
La variable X suit donc une loi binomiale de paramètres n=27 et p=1/3 ; son espérance est E(X)=np=27\cdot (1/3)=9 et sa variance est V(X)=np(1-p)=9\cdot(2/3)=6.

3b) À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebichev majorer P(\vert X-E(X)\vert \geq3).
3c) En déduire une minoration de la probabilité que le nombre de gagnants de la classe de Madame Dubois soit compris entre 7 et 11.
3d) Il y a 12 élèves qui ont un ticket gagnant, que pouvez-vous en conclure ?

Par Bienaymé-Tchebichev
P(|X-E(X)|\geq 3)\leq V(X)/3^2=6/9=2/3.
On a donc P(|X-9|\geq 3)=P(X\geq 9+3\mbox{ ou }X\leq 9-3)=P(X\geq 12\mbox{ ou }X\leq 6)\leq 2/3.
En passant au complémentaire
P(7\leq X\leq 11)=1-P(X\geq 12\mbox{ ou }X\leq 6)\geq 1-2/3=1/3.
Le fait qu'il y ait exactement 12 tickets gagnants dans la classe est bien compatible avec ces estimations : on n'a pas une majoration assez forte de P(X\geq 12\mbox{ ou }X\leq 6) pour dire que le résultat est incompatible avec le fait que la boîte soit la jaune (et en fait même si X=12 serait un peu surprenant, les calculs faits ne nous permettent pas de mettre en doute l'hypothèse du fils de la directrice).

Math207 – Corrigé de l'exo 6 (feuille 3)

Standard

Soit X une variable aléatoire de loi uniforme sur \{1, . . . , n\}. Soit Y une variable al\'eatoire de loi uniforme sur \{1, . . . ,X\}. Donner un sens mathématique à la phrase précédente ; donner la loi de Y, et calculer l'espérance de Y en fonction de n.

On sait que, quand X=k, "la variable Y est uniforme sur \{0,\ldots,k\}", ce qui veut dire que pour i=1,\ldots,k, on a P(Y=i|X=k)=1/k.
Les valeurs possibles de Y sont \{1, 2, \ldots, n\}, et pour calculer P(Y=i) (i\in\{1,\ldots, n\}) il faut d'abord distinguer les cas possibles pour la valeur de X. On a
P(Y=i)=P(Y=i\mbox{ et }X=i)+P(Y=i\mbox{ et }X=i+1)+\ldots+P(Y=i\mbox{ et }X=n)=\sum_{k=i}^nP(Y=i\mbox{ et }X=k).
Mais P(Y=i\mbox{ et }X=k)=P(X=k)P(Y=i|X=k)=(1/n)\cdot(1/k) (si i\leq k) et donc
P(Y=i)=\sum_{k=i}^n\frac{1}{nk}.
On a alors E(Y)=\sum_{i=1}^n iP(Y=i)=\sum_{i=1}^n i\sum_{k=i}^n \frac{1}{nk}=\sum_{1\leq i\leq k\leq n}\frac{i}{nk}=\sum_{k=1}^n\sum_{i=1}^k\frac{i}{nk}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{nk} \sum_{i=1}^k i=\sum_{k=1}^n \frac{k(k+1)}{2nk}=\frac{1}{2n}(\sum_{k=1}^n k +\sum_{k=1}^n 1)=\frac{1}{2n}(\frac{n(n+1)}{2}+n)=\frac{n+1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{n+3}{4}.

Soit U une variable aléatoire de loi uniforme à valeurs dans l'ensemble \{1, 2, . . . , n\} et V une variable aléatoire telle que, conditionnellement à U, V suit une loi de Bernoulli de paramètre U/n. Explicitement, on a P(V = 1|U = k) = k/n et P(V = 0|U = k) = 1 - k/n. Donner la loi et l'espérance de V.

On remarque que, comme les valeurs possibles pour V sont 0 et 1, la loi de V sera forcément une loi de Bernoulli ! Il faut calculer son paramètre p, c'est-à-dire la proba P(V=1). On a
P(V=1)=\sum_{k=1}^n P(V=1\mbox{ et }U=k)=\sum_{k=1}^n P(U=k)P(V=1|U=k)=\sum_{k=1}^n (1/n)\cdot (k/n)=\sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2}=\frac{n(n+1)}{2n^2}=\frac{n+1}{2n}.
L'espérance de V est très simple à calculer, car on a E(V)=1\cdot P(V=1)+0\cdot P(V=0)=P(V=1)=\frac{n+1}{2n}.

Soit X une variable aléatoire de loi de Poisson de paramètre \lambda. On suppose une variable Y telle que conditionnellement à X, Y suit une loi binomiale de paramètre X et p. Après avoir donné un sens mathématique à la phrase précédente, montrer que Y est une loi de Poisson de paramètre \lambda p.

On nous dit que Y est une variable aléatoire telle que P(Y=i|X=k)={k\choose i}p^i(1-p)^{k-i} et que X est une variable de Poisson de paramètre \lambda. Pour chaque i\in\mathbb{N} on a alors
P(Y=i)=\sum_{k\geq i}P(Y=i\mbox{ et }X=k)=\sum_{k\geq i}P(X=k)P(Y=i|X=k)=\sum_{k\geq i}\frac{\lambda^k}{k!e^\lambda}\cdot {k\choose i}p^i(1-p)^{k-i}=\frac{p^i}{e^\lambda}\sum_{k\geq 0}\frac{\lambda^{k+i}}{(k+i)!}{k+i \choose i}(1-p)^k=\frac{p^i}{e^\lambda}\sum_{k\geq 0}\frac{\lambda^{k+i}(k+i)!}{(k+i)!i!k!}(1-p)^k=\frac{(\lambda p)^i}{i!e^\lambda}\sum_{k\geq 0}\frac{(\lambda(1-p))^k}{k!}=\frac{(\lambda p)^i}{i!e^\lambda}\cdot e^{\lambda(1-p)}=\frac{(\lambda p)^i}{i!e^{\lambda p}}.

Feuille 4 exo 1 – corrigé

Standard

On dispose de 4 boîtes numérotées de 0 à 3. La boîte numéro 3 contient 3 boules blanches, la boîte numéro 2 2 boules blanches et 1 boule noire, la boîte numéro 1 1 boule blanche et 2 boules noires et la boîte numéro 0 3 boules noires. On choisit une boîte au hasard et 2 boules dans cette boîte. Soit X le numéro de la boîte tirée et Y le nombre de boules blanches tirées. Trouver la loi de (X,Y), puis celle de Y. Quel sera le signe de la covariance entre X et Y ? (On demande un raisonnement et non un calcul.)

Voici une solution détaillée en plusieurs étapes ; essayez de répondre à chaque question vous mêmes avant de lire la réponse !

Quelles sont les valeurs possibles pour X ?

Les valeurs possibles sont 0, 1, 2, 3, c’est à dire les nombres associés aux 4 boîtes.

Quelles sont les valeurs possibles pour Y ?

Il s’agit des valeurs 0, 1, 2 : au minimum on va tirer 0 boules blanches, et au maximum 2 (comme l’expérience consiste à tirer deux boules de l'une des 4 boîtes).

Trouver la loi de (X,Y).

Il faut remplir une table comme la suivante avec les probabilités que X=i et Y=j, pour tout couples d'entiers (i,j)i est entre 0 et 3, j entre 0 et 2.

\begin{array}{c|ccc} X\diagdown Y & 0 & 1 & 2 \\\hline 0 & 1/4 & 0 & 0\\ 1 & 1/12 & 2/12 & 0 \\ 2 & 0 & 2/12 & 1/12 \\ 3 & 0 & 0 & 1/4 \end{array}

Par exemple, la table dit que P(X=1,Y=1)=2/12=1/6. Mais comment est-ce qu'on l'a remplie ?

On va d'abord s'occuper de la première ligne ; on cherche donc P(X=0,Y=i) pour i=0,1,2. On sait que P(X=0,Y=1)=P(X=0,Y=2)=0, parce que il n'y a pas de boules blanches dans la boîte 0 (il est donc impossible de choisir la boîte 0 et d'en tirer une ou deux boules blanches). Par contre, on a P(X=0, Y=0)=1/4, c'est-à-dire la probabilité de choisir la boîte 0 (après, Y=0 est garanti).

On calcul les probas de la dernière ligne exactement de la même façon : il y a que des boules blanches dans la boîte 3 (on en tirera forcement 2 boules blanches), donc P(X=3, Y=0)=P(X=3, Y=1)=0 et P(X=3, Y=2)=1/4.

Pour la deuxième ligne, on veut les probas de choisir la boîte 1 (qui a une boule blanche, deux noires) et en tirer i boules blanches (i=0,1,2). Il est assez simple de calculer ces probas directement, mais on va faire un arbre pour mieux clarifier la situation :

boite 1 tree

Sachant qu'on a choisit la boîte 1, la proba de tirer 0 boules blanches est 1/3 (c'est la proba de tirer deux fois une boule noire) et la proba d'en tirer une est 2/3 (soit on tire une blanche, puis une noire, soit une noire, puis une blanche). On pourrait aussi faire un raisonnement du type: on tire 0 blanches si la boule qui reste est la blanche (proba 1/3) et exactement une blanche si la boule qui reste est noire (2 chances sur 3). Comme la proba de choisir la boîte 1 est 1/4, on a P(X=1,Y=0)=\frac14\cdot\frac13=1/12, P(X=1,Y=1)=2/12, P(X=1, Y=2)=0.

La situation de la boîte 2 est exactement symétrique.

Quel sera le signe de la covariance ?

Quand X est plus grand, la proba que Y soit grand augmente, car il y a plus de boules blanches dans les boîtes associées à un nombre plus grand. On s’attend donc une covariance positive.

Essayez de répondre aux questions suivantes pour vous entraîner !

  • Calculer la loi de Y.
  • Calculer l'esperance de X et celle de Y.
  • Calculer Cov(X,Y).

[Réponses : la loi de Y est uniforme sur \{0,1,2\} (chaque résultat a proba 1/3) ; E(X)=3/2 ; E(Y)=1 ; Cov(X,Y)=5/6.]

Contrôle 3 Exo 2 – Corrigé

Standard

Problème 2. On considère la droite de \mathbb{R}^2 d'équation x+y=0 ; soit f_S:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 l'application linéaire qui à chaque vecteur du plan associe son symétrique par rapport à cette droite.

  • Déterminer la matrice S associée à l'application f_S par rapport à la base canonique de \mathbb{R}^2 (au départ et à l'arrivée).

symm

Soit e_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}, e_2=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} la base canonique de \mathbb{R}^2. Les colonnes de la matrice S sont les vecteurs f_S(e_1),f_S(e_2) (exprimés dans la base canonique), donc on a simplement
S=\begin{pmatrix} 0 & -1\\-1 & 0\end{pmatrix}.

  • Montrer que la matrice S^2 (c'est-à-dire le produit entre la matrice S et elle même) est la matrice identité.

On a bien \begin{pmatrix} 0 & -1\\-1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1\\-1 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0^2+(-1)^2 & 0\cdot (-1)-1\cdot 0\\-1\cdot 0+0\cdot -1 & (-1)^2+0^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}.

  • On considère la matrice S-\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix} ; quel est le noyau de l'application linéaire g correspondante ? Quelle est son image ?

On a
S-\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & -1\\-1 & 0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & -1\\-1 & -1\end{pmatrix}
L'application linéaire g correspondante a comme image l'espace engendré par les colonnes de cette matrice, c'est-à-dire la droite engendrée par \begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix} (autrement dit, la droite x=y).
Le noyau de g est l'ensemble des vecteurs \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} tels que \begin{pmatrix} -1 & -1\\-1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}, c'est à dire tels que -x-y=0. Il s'agit donc de la droite x+y=0 par rapport à laquelle on avait pris les symétriques.

  • Montrer que tout vecteur de \ker g est orthogonale à tout vecteur de l'image de g.

Un vecteur de \ker g est de la forme \begin{pmatrix}\lambda\\-\lambda\end{pmatrix} et un vecteur de l'image de g de la forme \begin{pmatrix}\mu\\\mu\end{pmatrix}. Leur produit scalaire est \lambda\mu-\lambda\mu=0.

  • Déterminer la matrice associée à f_S par rapport à la base \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} (au départ et à l'arrivée).

Les colonnes de la matrices sont les images des vecteurs donnés, exprimées en coordonnées par rapport à la base \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}, que l'on va appeler v_1,v_2.
On a f_S(v_1)=S\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}=-v_1; les coordonnées de -v_1 par rapport à la base v_1,v_2 sont -1,0, donc la première colonne de la matrice sera \begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}. On a f_S(v_2)=Sv_2=v_2, qui a coordonnées 0,1. La matrice cherchée est donc \begin{pmatrix}-1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}.

On sait que l'application linéaire r_\theta:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 qui à chaque vecteur du plan associe son image par une rotation d'un angle \theta autour de l'origine est représentée par la matrice M_\theta=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\\sin\theta &\cos\theta \end{pmatrix} (par rapport à la base canonique).

  • Montrer que pour tout \theta et tout v\in\mathbb{R}^2 le vecteur M_\theta v a la même norme que le vecteur v.

Soit v=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}, alors M_\theta v=\begin{pmatrix}x\cos\theta-y\sin\theta\\x\sin\theta+y\cos\theta\end{pmatrix}; la norme de M_\theta v est la racine carrée de (x\cos\theta-y\sin\theta)^2+(x\sin\theta+y\cos\theta)^2=(\cos^2\theta+\sin^2\theta)(x^2+y^2). Comme pour tout \theta \cos^2\theta+\sin^2\theta=1, la norme de M_\theta v est \sqrt{x^2+y^2}, c'est-à-dire la norme de v.

  • Montrer que pour tout \theta on a SM_\theta S=M_{-\theta}.

Remarquez que ça revient à dire que symétriser par rapport à la droite x+y=0, faire une rotation de \theta et puis symétriser encore une fois donne le même résultat que faire seulement une rotation de \theta dans le sens inverse, ce qui se voit bien géométriquement.

On peut aussi faire le calcul: on a
SM_\theta S=\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\\sin\theta &\cos\theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sin\theta&-\cos\theta\\-cos\theta&-\sin\theta\end{pmatrix}=
=\begin{pmatrix}\cos\theta & \sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos(-\theta) & -\sin(-\theta)\\\sin(-\theta)&\cos(-\theta)\end{pmatrix}=M_{-\theta}.

  • Montrer que pour tout \theta on a (SM_\theta)^2=\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}.

On a montré que SM_\theta S=M_{-\theta}, donc (SM_\theta)^2=SM_\theta\cdot SM_\theta=(SM_\theta S)M_\theta=M_{-\theta}M_\theta=\operatorname{Id}.
La dernière égalité est claire du point de vue des applications linéaire correspondantes, qui sont l'une l'inverse de l'autre, mais peut aussi être montrée en faisant les calcul du produit matriciel.

Contrôle 3 Exo 1 – Corrigé

Standard

Problème 1. Soient V et W les espaces vectoriels suivants :
V=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^4\mbox{ t.q. } x-y+2z=w\right\}
W=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^4\mbox{ t.q. } x+2y+w=0 \mbox{ et } x-y-z+w=0 \right\}

  • Quelle est la dimension de V ?

L'espace V est défini comme sous-espace de \mathbb{R}^4 par une seule équation, donc sa dimension est 4-1=3.

  • Exprimer W comme le noyau d'une application linéaire entre \mathbb{R}^4 et $\mathbb{R}^2$. En déduire la dimension de W.

L'espace W est le noyau de l'application linéaire f_W:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^2 représentée (par rapport aux bases canoniques de \mathbb{R}^4 et \mathbb{R}^2) par la matrice
M_W=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 & 1\\1 & -1 & -1 & 1\end{pmatrix}.
On a 4=\operatorname{dim}\mathbb{R}^4=\operatorname{dim}\ker f_W+\operatorname{dim}\operatorname{Im}f_W ; l'image de f_W, qui est engendrée par les colonnes de la matrice M_W, est incluse dans \mathbb{R}^2 et contient deux vecteurs non-colinéaires (par exemple les deux premières colonnes de la matrice M_W) donc a dimension 2.
Finalement, \operatorname{dim}W=\operatorname{dim}\ker f_W=4-2=2.

On considère les familles de vecteurs suivantes :
v_1=\begin{pmatrix}1\\3\\2\\2\end{pmatrix},v_2=\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix},v_3=\begin{pmatrix}0\\0\\1\\2\end{pmatrix}
w_1=\begin{pmatrix}-1\\-1\\3\\3\end{pmatrix},w_2=\begin{pmatrix}1\\-1\\3\\1\end{pmatrix}

  • Montrer que v_1,v_2,v_3 est une base de V, et que w_1, w_2 est une base de W.

Les vecteurs v_1,v_2,v_3 sont trois vecteurs libres (av_1+bv_2+cv_3=0\Leftrightarrow a=b=c=0) de V (car leur coordonnées satisfont à l'équation x-y+2z=w). La dimension de V est trois, donc v_1,v_2,v_3 est une base de V.
De même pour w_1,w_2. Je ne vais pas écrire plus de détails, parce que essentiellement tout le monde a réussi cette question. Bravo !

  • Existe-t-il une application linéaire de V vers W dont le noyau est \{0\} ?

Non ! Une application linéaire f de V vers W est toujours telle que \dim V=\dim \ker f+\dim \operatorname{Im}f. Par contre, on sait que \operatorname{Im}f\subseteq W, donc \dim \operatorname{Im}f\leq 2, dont on obtient \dim\ker f\geq 3-2=1 ; la dimension du noyau de f est au moins 1, donc le noyau ne peut dans aucun cas être \{0\}.

  • Montrer qu'il existe une unique application linéaire f: V \to W telle que
    f(v_1)=\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix}, \; f(v_2)=\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 6 \\ 4\end{pmatrix}, \; f(v_3)=\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ -6 \\ 0\end{pmatrix}

Existence et unicité sont une conséquence du fait que v_1,v_2,v_3 forment une base de V, et que les vecteurs \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 6 \\ 4\end{pmatrix},\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ -6 \\ 0\end{pmatrix} appartiennent à W.

  • Quelle est la matrice associée à f par rapport aux bases v_1,v_2,v_3 et w_1,w_2?

Les colonnes de M contiennent les coordonnées des vecteurs f(v_1), f(v_2), f(v_3) par rapport à la base w_1, w_2. En faisant les calculs, on obtient
M=\begin{pmatrix}1 & 1&1\\-1&1&-3\end{pmatrix}.

  • Calculer f\begin{pmatrix}0\\2\\3\\4\end{pmatrix} (exprimer le résultat comme un vecteur de \mathbb{R}^4).

On a \begin{pmatrix}0\\2\\3\\4\end{pmatrix}=v_1-v_2+v_3, donc f\begin{pmatrix}0\\2\\3\\4\end{pmatrix}=f(v_1)-f(v_2)+f(v_3)=\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 6 \\ 4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ -6 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -6 \\ 4 \\ -12 \\ -2\end{pmatrix}.

On pourrait aussi calculer M\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix} (où \begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix} est le vecteur des coordonnées de f\begin{pmatrix}0\\2\\3\\4\end{pmatrix} par rapport à la base v_1,v_2,v_3), ce qui nous donne le vecteur \begin{pmatrix}1\\-5\end{pmatrix}. On a donc f\begin{pmatrix}0\\2\\3\\4\end{pmatrix}=w_1-5w_2=\begin{pmatrix} -6 \\ 4 \\ -12 \\ -2\end{pmatrix}.

  • Quelle est la dimension de \operatorname{Im}f ? En déduire la dimension de \ker f.

On sait que \operatorname{Im}f=\operatorname{Vect}(f(v_1),f(v_2),f(v_3)) ; on sait aussi que \dim\operatorname{Im}f\leq \dim W=2. Comme les vecteurs f(v_1),f(v_2) ne sont pas colinéaires, on déduit que \dim\operatorname{Im}f=2.

Par conséquence, on a \dim\ker f=\dim V-\dim\operatorname{Im}f=3-2=1.

  • Déterminer une base de \ker f (on exprimera les éléments de cette base comme vecteurs de \mathbb{R}^4).

On a que Mv=0 pour un vecteur v=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix} si et seulement si a+b+c=0 et -a+b-3c=0, c'est-à-dire pour les vecteurs v de la forme \begin{pmatrix}-2b\\b\\b\end{pmatrix}.
Les vecteurs du noyau de f sont donc ceux qui s'écrivent sous la forme -2bv_1+bv_2+bv_3 ; en posant b=1 on trouve que le vecteur -2v_1+v_2+v_3=\begin{pmatrix}-1\\-5\\-3\\-2\end{pmatrix} forme une base de \ker f.

Devoir maison

Standard

Comme vous avez peut-être remarqué, j'ai rajouté des symboles à côté de chaque exercice sur cette page ; notamment, chaque exo est décoré par une liste de symboles parmi les suivants :
♠︎ = matrices/applications linéaires
♣︎ = espaces vectoriels
♥︎ = nombres complexes
♦︎ = coordonnées cartesiennes
= corrigé en cours/TD
❄︎ = unité de "difficulté"
☕︎ = exercice abstrait

Vous pouvez choisir vous mêmes les exos à me rendre parmi ceux des feuilles de TD et les questions de cours, selon les règles suivantes :

Voici les symboles à associer aux exos des feuilles de TD :

Applications linéaires, noyau, image
P1 ♠︎❄︎✍
P2 ♠︎❄︎✍
P3 ♠︎❄︎☕︎✍
P4 ♠︎❄︎☕︎✍
P5 ♠︎❄︎❄︎☕︎✍
P6 ♠︎❄︎❄︎✍
P7 ♠︎❄︎☕︎✍

Espaces vectoriels réels (Feuille 3)
P1 ♣︎❄︎☕︎✍
P2 ♣︎❄︎✍
P3 ♣︎❄︎✍
P4 ♣︎❄︎✍
P5 ♣︎❄︎☕︎✍
P6 ♣︎❄︎✍
P7 je ne vais pas accepter cet exo, car il y a un corrigé en ligne

Nombres complexes (Feuille 2)
P1 ♥︎❄︎✍
P2 ♥︎❄︎✍
P3 ♥︎❄︎✍
P4 ♥︎❄︎✍
P5 ♥︎❄︎✍
P6 ♥︎❄︎✍
P7 ♥︎❄︎❄︎❄︎✍
P8 ♥︎❄︎❄︎✍
P9 ♥︎❄︎❄︎❄︎❄︎❄︎☕︎☕︎
P10 ♥︎❄︎❄︎❄︎❄︎❄︎☕︎
Remarquez que, en rédigeant le P9 ou le P10, vous allez totaliser une bonne moitié des ❄︎ demandés : il s'agit de deux problèmes qui ne sont pas évidents, et que je n'ai pas eu le temps de corriger. Si vous avez envie d'essayer de les faire, ça va être bien apprecié !

Coordonnées Cartesiennes (Feuille 1)
P1 ♦︎❄︎❄︎
P2 ♦︎❄︎❄︎✍
P3 ♦︎❄︎❄︎✍
P4 ♦︎❄︎✍
P5 ♦︎❄︎☕︎✍
P6 je ne vais pas accepter cet exo, car il y a un corrigé en ligne

Si vous rédigez plus d'exos que la quantité demandée, cela sera pris en compte. Voici un fichier avec un exemple de sujet de DM qui respecte les règles que j'ai posé.
Exemple de DM