Lors de la fête de l'école de Madame Dubois, une tombola est organisée. Il y a deux boîtes de tickets de tombola, une jaune et une rose. Dans la boîte jaune, il y a un ticket gagnant sur trois tandis que dans la boîte rose, il y en a deux sur trois.

1) Un enfant se rend au stand de la tombola et donne son ticket, quelle est la probabilité qu'il gagne un lot? Définir deux espaces de probabilités $(\Omega_j,P_j)$ et $(\Omega_r,P_r)$ correspondant aux contenus des deux boîtes.

Comme d'habitude, il y a plusieurs manières possibles de définir des espaces de probabilité pour l'expérience donnée ; voici deux réponses sur lesquelles réfléchir.

• $\Omega_{j}=\Omega_r=\{P,G\}$ : en tout cas, les résultats possibles de l'expérience aléatoire sont deux ; soit l'enfant a un ticket perdant soit un ticket gagnant. Ce qui change pour les deux boîtes est la proba que le ticket soit gagnant: on a $P_j(P)=2/3$ et $P_j(G)=1/3$, alors que $P_r(P)=1/3, P_r(G)=2/3$. Ces deux espaces sont parfaitement adaptés à l'expérience "un enfant donne sont ticket, pioché au hasard de la boite jaune/rose", mais on pourrait bien imaginer des univers qui gardent plus d'information sur ce qui est en train de se passer, et qui pourraient être utiles si, dans la même situation (boîte jaune/rose avec un certain nombre de tickets gagnants/perdants), on s'intéressait à une expérience plus complexe (e.g. deux enfants piochent et rendent leur tickets). Par exemple :
• $\Omega_j=\{G_1,\ldots,G_n,P_1,\ldots,P_{2n}\}$, $P_j$ uniforme; $\Omega_r=\{G_1,\ldots,G_{2m},P_1,\ldots,P_{m}\}$, $P_r$ uniforme. Ces espaces gardent l'information de l'"identité" du ticket spécifique pioché par l'enfant (autrement dit, on suppose que les ticket dans chaque boîte soient distinguables, et qu'il y ait $3n$ ticket dans la boîte jaune – dont $n$ gagnants – et $3m$ dans la rose – dont $2m$ gagnants). Pour chaque boîte, la proba à mettre sur l'ensemble des tickets (si l'on suppose qu'un enfant en pioche un au hasard) est uniforme. Si on allait calculer la proba pour l'enfant de gagner avec ces espaces, on devrait calculer $P_j(\{G_1,\ldots,G_n\})=n\cdot 1/3n=1/3$ (boîte jaune) et $P_r(\{G_1,\ldots,G_{2m}\})=2m\cdot 1/3m=2/3$ (boîte rose). En fait on n'utilisera pas ces espaces, même si l'on pourrait les adapter au cas de $k$ enfants qui piochent leur tickets, parce qu'on ne connait pas les nombres $n$, $m$ de tickets dans les deux boîtes : on nous dit seulement que ces nombres sont très grands, ce qui veut dire que la proba de piocher un ticket gagnant ne change (presque) pas même si un certain (petit) nombre de tickets a déjà été pioché de la boîte.

Le nombre de tickets contenus dans les deux boîtes est très grand et on peut supposer que les proportions de tickets gagnants ne changent pas si on enlève vingt-sept tickets de l'une ou l'autre des boîtes. Bien entendu, les enseignants ne sont pas au courant de la répartiton faite par la directrice. Madame Dubois a choisi une des deux boîtes au hasard dans le bureau de la directrice, elle revient dans sa classe et distribue un ticket aux vingt-sept enfants de sa classe.
Le fils de la directrice est au courant de la répartition des boîtes et tient le stand de la tombola, c'est au tour des élèves de la classe de Madame Dubois de venir voir s'ils ont gagné.

2a) Le fils de la directrice compte le nombre de perdants avant qu'il y ait un premier gagnant. Modéliser cette expérience, on notera $Y$ la variable aléatoire, calculer sa loi. (On fera attention à bien distinguer les boîtes
jaune et rose.)

Comment modeliser cette expérience aléatoire ? Quels sont les différents résultats que le fils de la directrice pourrait voir ? Il va noter le résultat de chacun des 27 élèves de la classe (gagnant/perdant), dans l'ordre dans lequel ils rendent leurs tickets. Un univers valable est donc $\Omega=\{G,P\}^{27}$ (chaque élément d'$\Omega$ est une séquence de 27 lettres, chacune égale à $G$ ou $P$). Si la boîte est la jaune, chaque enfant a une probe de 1/3 de gagner, et donc, étant donné $\omega\in\Omega$, on a $P_j(\omega)=(1/3)^{\# G}(2/3)^{\# P}$ ; si la boîte est la rose, on a $P_r(\omega)=(2/3)^{\# G}(1/3)^{\# P}$. Sur cet espace, on veut définir une variable aléatoire $Y$ qui compte le nombre de perdants avant d'avoir un gagnant ; $Y(\omega)$ est donc le nombre de $P$ initiales d'$\omega$ (avant d'avoir un $G$), par exemple :
$Y(GPPGGGPPPPGGGGGGGGPPPGGPPPP)=0$
$Y(PPPGGPGGGPGPGPGPPPGPPPGPPPG)=3$
$Y(PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP)=27$
L'ensemble des valeurs possibles de $Y$ est donc $Y(\Omega)=\{0,1,2,\ldots,27\}$, et si $i<27$ on a $P_j(Y=i)=(2/3)^i\cdot 1/3$ et $P_r(Y=i)=(1/3)^i\cdot 2/3$ (proba d'avoir $i$ Ps, puis un G avec la boîte jaune/rose). Comme il n'y a que 27 élèves, on a $P_j(Y=27)=(2/3)^{27}$ et $P_r(Y=27)=(1/3)^{27}$ (proba de l'unique séquence avec 27 Ps). La loi de $Y$ est donc très proche d'une loi géométrique de paramètre $1/3$ ou $2/3$, sauf que, comme $Y\leq 27$, il faut calculer $P_j(Y=27)$ et $P_r(Y=27)$ comme l'on a fait, et on a $P(Y>27)=0$ (ce qui n'est pas le cas pour la loi géométrique, qui peut prendre des valeurs arbitrairement grandes !).

2b) Calculer la probabilité $P_{j}(Y\geq3)$ et $P_{r}(Y\geq3)$

On a
$P_j(Y\geq 3)=1-P_j(Y=0)-P_j(Y=1)-P_j(Y=2)=1-1/3-2/9-4/27=8/27\approx 0,3$
$P_r(Y\geq 3)=1-P_r(Y=0)-P_r(Y=1)-P_r(Y=2)=1-2/3-2/9-2/27=1/27\approx 0,04$

2c) Le premier gagnant de la loterie est le cinquième joueur. Que pouvez-vous supposer ?

On va calculer la probabilité que le premier gagnant soit le cinquième enfant dans le cas de la boîte jaune
$P_j(Y=5)=(2/3)^4(1/3)=16/3^5\approx 0,066$
et de la boîte rose
$P_r(Y=5)=(1/3)^4(2/3)=2/3^5\approx 0,008$.
On voit que la proba de $Y=5$ quand la boîte est rose est extrêmement petite, et que la proba du même événement dans le cas de la boîte jaune est 8 fois plus grande. Par conséquence, on peut supposer que la boîte choisie par Madame Dubois soit la jaune.

Le fils de la directrice est quasiment sûr que Madame Dubois a choisi la boîte jaune, on va donc travailler avec cette hypothèse dans cette question.

3a) Les vingt-sept enfants de la classe de Madame Dubois ont donné leur ticket de tombola, quelle est la loi du nombre de gagnants ? On notera $X$ cette variable aléatoire et on calculera sa loi, son espérance et sa variance. (Bien justifier le calcul de la loi.)

On va utiliser l'espace probabilisé décrit lors de la question précédente, et on va définir $X(\omega)$ comme le nombre de $G$ qui apparaissent dans la séquence $\omega$ ; on pose $P=P_j$. On a donc
$P(X=k)=\sum_{\omega\mbox{ avec $k$ Gs}}P(\omega)=\sum_{\omega\mbox{ avec $k$ Gs}}(1/3)^k(2/3)^{27-k}=\#\{\omega\in\Omega\mbox{ avec $k$ Gs}\}(1/3)^k(2/3)^{27-k}={27\choose k}(1/3)^k(2/3)^{27-k}$
La variable $X$ suit donc une loi binomiale de paramètres $n=27$ et $p=1/3$ ; son espérance est $E(X)=np=27\cdot (1/3)=9$ et sa variance est $V(X)=np(1-p)=9\cdot(2/3)=6$.

3b) À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebichev majorer $P(\vert X-E(X)\vert \geq3)$.
3c) En déduire une minoration de la probabilité que le nombre de gagnants de la classe de Madame Dubois soit compris entre 7 et 11.
3d) Il y a 12 élèves qui ont un ticket gagnant, que pouvez-vous en conclure ?

Par Bienaymé-Tchebichev
$P(|X-E(X)|\geq 3)\leq V(X)/3^2=6/9=2/3$.
On a donc $P(|X-9|\geq 3)=P(X\geq 9+3\mbox{ ou }X\leq 9-3)=P(X\geq 12\mbox{ ou }X\leq 6)\leq 2/3$.
En passant au complémentaire
$P(7\leq X\leq 11)=1-P(X\geq 12\mbox{ ou }X\leq 6)\geq 1-2/3=1/3$.
Le fait qu'il y ait exactement 12 tickets gagnants dans la classe est bien compatible avec ces estimations : on n'a pas une majoration assez forte de $P(X\geq 12\mbox{ ou }X\leq 6)$ pour dire que le résultat est incompatible avec le fait que la boîte soit la jaune (et en fait même si $X=12$ serait un peu surprenant, les calculs faits ne nous permettent pas de mettre en doute l'hypothèse du fils de la directrice).

Soit $X$ une variable aléatoire de loi uniforme sur $\{1, . . . , n\}$. Soit $Y$ une variable al\'eatoire de loi uniforme sur $\{1, . . . ,X\}$. Donner un sens mathématique à la phrase précédente ; donner la loi de $Y$, et calculer l'espérance de $Y$ en fonction de $n$.

On sait que, quand $X=k$, "la variable $Y$ est uniforme sur $\{0,\ldots,k\}$", ce qui veut dire que pour $i=1,\ldots,k$, on a $P(Y=i|X=k)=1/k$.
Les valeurs possibles de $Y$ sont $\{1, 2, \ldots, n\}$, et pour calculer $P(Y=i)$ ($i\in\{1,\ldots, n\}$) il faut d'abord distinguer les cas possibles pour la valeur de $X$. On a
$P(Y=i)=P(Y=i\mbox{ et }X=i)+P(Y=i\mbox{ et }X=i+1)+\ldots+P(Y=i\mbox{ et }X=n)=\sum_{k=i}^nP(Y=i\mbox{ et }X=k).$
Mais $P(Y=i\mbox{ et }X=k)=P(X=k)P(Y=i|X=k)=(1/n)\cdot(1/k)$ (si $i\leq k$) et donc
$P(Y=i)=\sum_{k=i}^n\frac{1}{nk}$.
On a alors $E(Y)=\sum_{i=1}^n iP(Y=i)=\sum_{i=1}^n i\sum_{k=i}^n \frac{1}{nk}=\sum_{1\leq i\leq k\leq n}\frac{i}{nk}=\sum_{k=1}^n\sum_{i=1}^k\frac{i}{nk}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{nk} \sum_{i=1}^k i=\sum_{k=1}^n \frac{k(k+1)}{2nk}=\frac{1}{2n}(\sum_{k=1}^n k +\sum_{k=1}^n 1)=\frac{1}{2n}(\frac{n(n+1)}{2}+n)=\frac{n+1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{n+3}{4}.$

Soit $U$ une variable aléatoire de loi uniforme à valeurs dans l'ensemble $\{1, 2, . . . , n\}$ et $V$ une variable aléatoire telle que, conditionnellement à $U$, $V$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $U/n$. Explicitement, on a $P(V = 1|U = k) = k/n$ et $P(V = 0|U = k) = 1 - k/n$. Donner la loi et l'espérance de $V$.

On remarque que, comme les valeurs possibles pour $V$ sont 0 et 1, la loi de $V$ sera forcément une loi de Bernoulli ! Il faut calculer son paramètre $p$, c'est-à-dire la proba $P(V=1)$. On a
$P(V=1)=\sum_{k=1}^n P(V=1\mbox{ et }U=k)=\sum_{k=1}^n P(U=k)P(V=1|U=k)=\sum_{k=1}^n (1/n)\cdot (k/n)=\sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2}=\frac{n(n+1)}{2n^2}=\frac{n+1}{2n}.$
L'espérance de $V$ est très simple à calculer, car on a $E(V)=1\cdot P(V=1)+0\cdot P(V=0)=P(V=1)=\frac{n+1}{2n}.$

Soit $X$ une variable aléatoire de loi de Poisson de paramètre $\lambda$. On suppose une variable $Y$ telle que conditionnellement à $X$, $Y$ suit une loi binomiale de paramètre $X$ et $p$. Après avoir donné un sens mathématique à la phrase précédente, montrer que $Y$ est une loi de Poisson de paramètre $\lambda p$.

On nous dit que $Y$ est une variable aléatoire telle que $P(Y=i|X=k)={k\choose i}p^i(1-p)^{k-i}$ et que $X$ est une variable de Poisson de paramètre $\lambda$. Pour chaque $i\in\mathbb{N}$ on a alors
$P(Y=i)=\sum_{k\geq i}P(Y=i\mbox{ et }X=k)=\sum_{k\geq i}P(X=k)P(Y=i|X=k)=\sum_{k\geq i}\frac{\lambda^k}{k!e^\lambda}\cdot {k\choose i}p^i(1-p)^{k-i}=\frac{p^i}{e^\lambda}\sum_{k\geq 0}\frac{\lambda^{k+i}}{(k+i)!}{k+i \choose i}(1-p)^k=\frac{p^i}{e^\lambda}\sum_{k\geq 0}\frac{\lambda^{k+i}(k+i)!}{(k+i)!i!k!}(1-p)^k=\frac{(\lambda p)^i}{i!e^\lambda}\sum_{k\geq 0}\frac{(\lambda(1-p))^k}{k!}=\frac{(\lambda p)^i}{i!e^\lambda}\cdot e^{\lambda(1-p)}=\frac{(\lambda p)^i}{i!e^{\lambda p}}.$