Applications linéaires et matrices

QUESTIONS :

[♠︎❄︎] Pour chaque couple (matrice $M$, vecteur $v$) dire si le produit matrice par vecteur $Mv$ a un sens et, dans ce cas, le calculer.

• $M=\begin{pmatrix} 11 & -3 \\ 7 & 13 \end{pmatrix}$, $v=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$
• $M=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}$, $v=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$
• $M=\begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ -9 & 7 & -1 \end{pmatrix}$, $v=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}$
• $M=\begin{pmatrix} 2 & -9 \\ 0 & 7 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$, $v=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}$
• $M=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 7 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $v=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

[♠︎❄︎] Pour chaque couple de matrices $(M_1, M_2)$ dire si le produit matriciel $M_1M_2$ a un sens et, dans ce cas, le calculer.

• $M_1=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}$, $M_2=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$
• $M_1=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$, $M_2=\begin{pmatrix} -5 & 4 & 2\\ -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}$
• $M_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$, $M_2=\begin{pmatrix} 2 & -3 & 1\\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$
• $M_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $M_2=\begin{pmatrix} 13 & -3 & 5\\ -3 & 7 & 4 \\ 11 & -3 & 2 \end{pmatrix}$ (que remarquez-vous ? Auriez-vous pu prédire le résultat ?)
• $M_1=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$, $M_2=\begin{pmatrix} -1 & -2\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
• $M_1=\begin{pmatrix} -1 & -2\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $M_2=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ (que remarquez-vous par rapport à la question précédente ?)

[♠︎❄︎] Pour chacune des matrices $M$ suivantes, soit $f$ l'unique application linéaire de $\mathbb{R}^m$ vers $\mathbb{R}^n$ représentée par $M$ (dans les bases canoniques). Dans chaque cas, préciser $m$ et $n$, et calculer $\dim \ker f$ et $\dim \operatorname{Im} f$. Quand $\ker f$ est non trivial, en déterminer une base.

• $M=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$
• $M=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & -1 \end{pmatrix}$
• $M=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 5 & 7 & 9 \end{pmatrix}$
• $M=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}$
• $M=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 3 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
• $M=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 4 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$

 

Applications linéaires, noyau, image

QUESTIONS :

[♠︎❄︎❄︎☕︎] Dire si les fonctions suivantes sont linéaires ou pas, et justifier sa réponse

• $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2$: $f\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x+y+z\\2x\end{pmatrix}$
• $f:\mathbb{R}[x]\to\mathbb{R}$: $f(p(x))=p(0)$
• $f:\mathbb{R}[x]\to\mathbb{R}$: $f(p(x))=p(2)$
• $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$: $f(v)=|v|\ v$
• $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2$: $f(t)=(t,t^2)$
• $f:\mathbb{R}[x]\to\mathbb{R}[x]$: $f(p(x))=3p(x)+5p(0)$
• (*) $f:\mathbb{R}[x]\to\mathbb{R}[x]$: $f(p(x))=p(x+1)-p(x)$

[♠︎❄︎❄︎] Dire s'il existe  une application linéaire $f$ de $V$ dans $W$ telle que $f(v_i)=w_i$ dans les cas suivants ; quand une telle $f$ existe, préciser si elle est unique :

• $V=\operatorname{Vect}(v_1,v_2), W=\mathbb{R}^2$
  $v_1=\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}, v_2=\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}$, $w_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},w_2=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$

• $V=\mathbb{R}^3, W=\mathbb{R}^2$
  $v_1=\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}, v_2=\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}, v_3=\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}, w_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},w_2=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix},w_3=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}$

• $V=\mathbb{R}^2, W=\mathbb{R}^3$
  $v_1=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}, v_2=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}, v_3=\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}, w_1=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix},w_2=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix},w_3=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$

• $V=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} : x+y+z=0\right\}, W =\mathbb{R}^4$
  $v_1=\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}, v_2=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}, w_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix} ,w_2=\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}$

[♠︎❄︎❄︎☕︎] Pour chacune des applications linéaires suivantes, déterminer la dimension du noyau et la dimension de l'image :

• $f:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3 : f((x,y,z,w))=(x+y,x-y,z+w)$
• $f:\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mbox{ t.q. }x-y-2z=0\right\}\to\mathbb{R}^2 : f((x,y,z))=(x-y,2z)$
• $f:\{ax^3+bx^2+cx+d\mbox{ t.q. }a,b,c,d\in\mathbb{R}\}\to\mathbb{R}[x] : f(p(x))=p'(x)$
• $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 : f((x,y))=(x+y,x+y,x+y)$
• $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^3 : f(t)=(3t,t,-t)$

Problème 7. On considère les vecteurs
$v_1=\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, v_2=\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, w_1=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, w_2=\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}.$
Soient $V=\operatorname{Vect}(v_1,v_2)$ et $W=\operatorname{Vect}(w_1,w_2)$. Déterminer une base de $V \cap W$. Quelle est la dimension de l'espace engendré par $V$ et $W$ ?

Un vecteur de $\mathbb{R}^3$ appartient à $V\cap W$ si et seulement si il est à la fois une combinaison linéaire de $v_1,v_2$ et une combinaison linéaire de $w_1,w_2$, c'est-à-dire $u\in V\cap W$ si et seulement s'il existe $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ tels que

$u=av_1+bv_2=cw_1+dw_2.$

On cherche donc $a,b,c,d$ tels que

$\begin{cases}b=c+2d\\a-b=c-d\\2a+b=-d\end{cases}.$

En utilisant la première equation et la deuxième, on obtient $a=2c+d$, d'où (3ème equation) $4c+2d+c+2d=-d$, et donc $c=-d$. On a ainsi $a=-d$, $b=d$, $c=-d$, et donc finalement les vecteurs dans $V\cap W$ sont tous de la forme

$-dv_1+dv_2=-dw_1+dw_2=d\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix},$

pour $d\in\mathbb{R}$. L'espace $V\cap W$ est donc la droite engendrée par le vecteur $\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}$ (qui est bien une base de la droite elle-même).

Comme on a montré que $\operatorname{dim}V\cap W=1$, la formule de Grassmann nous assure que

$\operatorname{dim}V+V=\operatorname{dim}V+\operatorname{dim}W-\operatorname{dim}V\cap W=2+2-1=3$,

donc que l'espace engendré par $V$ et $W$ est bien $\mathbb{R}^3$.

QUESTIONS :

• [♣︎❄︎❄︎] Déterminer des equations pour chacun des espaces suivants ; pour chacun, exhiber une base et calculer sa dimension.
  $E_1=\operatorname{Vect}\left(\begin{pmatrix}1\\2\\-4\\3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\0\\3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\-2\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\-1\\2\\6\end{pmatrix}\right)$
  $E_2=\operatorname{Vect}\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}\right)$
  $E_3=\operatorname{Vect}\left(\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\-3\\3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1\\-2\\2\\7\end{pmatrix}\right)$
• [♣︎❄︎] Montrer que la famille
  $v_1=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\\-1\end{pmatrix},v_2=\begin{pmatrix}2\\0\\-1\\3\end{pmatrix},v_3=\begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\end{pmatrix}$
  est libre ; montrer que les vecteurs
  $\begin{pmatrix}3\\0\\1\\2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1\\-2\\6\\-9\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}$
  appartiennent à l'espace $\operatorname{Vect}(v_1,v_2,v_3)$ et déterminer les coordonnées de chacun par rapport à la base $\{v_1,v_2,v_3\}$.

• [♣︎❄︎] Exhiber une base de $\mathbb{R}^5$ qui contient les vecteurs
  $w_1=\begin{pmatrix}3\\0\\1\\-1\\2\end{pmatrix},w_2=\begin{pmatrix}2\\4\\1\\1\\5\end{pmatrix}.$
  Déterminer des équation pour l'espace $\operatorname{Vect}(w_1,w_2)$. Quelle est sa dimension ?
• [♣︎❄︎❄︎] Pour chacun des systèmes linéaires homogènes suivants, déterminer une base de l'espace des solutions :
  $\begin{cases}3x+y-z=0\\x+z=0\end{cases}$ (sous-espace de $\mathbb{R}^3$)
  $\begin{cases}x-z+w=0\\x-y+z=0\end{cases}$ (sous-espace de $\mathbb{R}^4$)
  $x+5y+z+2w=0$ (sous-espace de $\mathbb{R}^4$)

Cette semaine on a parlé de

• espaces vectoriels réels, definitions et exemples
• sous-espaces vectoriels
• combinaison linéaires, le (sous)-espace engendré par un ensemble de vecteurs

QUESTIONS :

[♣︎❄︎❄︎☕︎] On considère l'espace vectoriel (réel) $\mathbb{R}[x]$ des polynômes à coefficients réels, avec les operations usuelles de somme et multiplication par scalaires. Dire si les sous-ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels ;

• les polynômes de $\mathbb{R}[x]$ qui admettent 0 comme racine ;
• les polynômes de la forme $ax^3+bx^2+cx+d$, avec $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ ;
• les polynômes de la forme $ax^3+bx^2+cx+d$, avec $a,b,c,d\in\mathbb{R}$, tels que le produit de leur racines est égal à 7 ;
• le polynômes de degré égal à 3 ;
• les polynômes de $\mathbb{R}[x]$ ayant 0 pour somme de leurs coefficients.

[♣︎❄︎❄︎☕︎] On considère l'espace $\mathbb{R}^3$, avec sa structure usuelle d'espace vectoriel réel. Dire si les ensembles suivants sont des sous-espaces de $\mathbb{R}^3$ ; si c'est le cas, donner une partie génératrice (c'est-à-dire exprimer le sous-espace comme $\operatorname{Vect}(v_1,\ldots, v_n)$ pour des vecteurs $v_1,\ldots,v_n$ de $\mathbb{R}^3$ :

• l'ensemble des vecteurs $(x,y,z)$ tels que $x+3y+z=0$ ;
• l'ensemble des vecteurs $(x,y,z)$ tels que $x^2+y^2+z^2=0$ ;
• l'ensemble des vecteurs de la forme $(x,y,1)$, avec $x,y\in\mathbb{R}$ ;
• l'ensemble des vecteurs de la forme $(t,s+t,s-t)$, avec $s,t\in\mathbb{R}$ ;
• l'ensemble des vecteurs de la forme $(2t,s-t+1,s)$, avec $s,t\in\mathbb{R}$ ;
• l'ensemble des vecteurs de la forme $(2a,2b,2c)$, avec $a,b,c\in\mathbb{Z}$ ;
• l'ensemble des vecteurs orthogonaux au vecteur $(1,7,-2)$.

On considère les points $A$, $B$, $C$ de coordonnées $(0,0)$, $(35,-14\sqrt{6})$ et $(24\sqrt{6},60)$. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle. Soit $H$ le pied de la hauteur issue du point $A$ ; sans calculer les coordonnées de $H$, déterminer les longueurs des segments $BH$, $CH$ et $AH$ (on pourra inverser la relation $2\operatorname{Aire}=b\cdot h$ pour l'aire d'un triangle). Vérifier la relation $BH\cdot CH=AH^2$ (théorème d'Euclide).

1 - Le triangle ABC est rectangle

Je vais montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, c'est-à-dire que les vecteurs $\vec{B}=(35,-14\sqrt{6})$ et $\vec{C}=(24\sqrt{6},60)$ sont orthogonaux.

Cela revient à vérifier que le produit scalaire $\vec{B}\cdot \vec{C}$ est nul, et en effet
$\vec{B}\cdot \vec{C}=35\cdot 24\sqrt{6}-14\sqrt{6}\cdot 60=7\cdot 5\cdot 6\cdot 4\cdot\sqrt{6}-7\cdot 2\cdot 6\cdot 5\cdot 2\cdot \sqrt{6}=0.$

Remarques : une autre manière de montrer qu'un triangle est rectangle est de vérifier la relation du théorème de Pythagore, c'est-à-dire dans notre cas le fait que $BC^2=AB^2+AC^2$ ; ça comporte plus de calculs, mais comme on aura besoin des longueurs des trois côtés plus tard, ce n'est pas forcément une mauvaise idée de les calculer au tout début de l'exo.

2 - Les projections BH et CH comme fonctions des côtés du triangle

Les segments $BH$ et $CH$ sont les projections des segments $AB$ et $AC$ le long de $BC$. Étant donné un vecteur $v$ parallèle à $BC$, on peut donc calculer leur longueurs comme $BH=\frac{|\vec{B}\cdot v|}{|v|}$ et $AH=\frac{|\vec{A} \cdot v|}{|v|}$.

Le vecteur $\vec{B}-\vec{C}$ est bien parallèle au côté $BC$ du triangle, ce qui implique par exemple $BH=\frac{|\vec{B}\cdot (\vec{B}-\vec{C})|}{BC}.$
Mais $\vec{B}\cdot (\vec{B}-\vec{C})=\vec{B}\cdot\vec{B}-\vec{B}\cdot\vec{C}$ ; de plus, on a déjà montré que $\vec{B}\cdot\vec{C}=0$ (les deux sont orthogonaux) et on sait que $\vec{B}\cdot\vec{B}=|\vec{B}|^2={AB}^2$ (le produit scalaire entre un vecteur et soi-même, comme l'angle est nul, est la norme au carré).

On a donc $BH=AB^2/BC$.

De même, $CH=\frac{|\vec{C}\cdot (\vec{B}-\vec{C})|}{BC}=\frac{|\vec{C}\cdot\vec{B}-\vec{C}\cdot\vec{C}|}{BC}=\frac{AC^2}{BC}$.

Remarques : comme on sait qu'on va devoir calculer la longueur de $AH$, on pourrait aussi utiliser le théorème de Pythagore pour exprimer $BH$ et $CH$ comme $\sqrt{AB^2-AH^2}$ et $\sqrt{AC^2-AH^2}$. Je vous donne une solution qui utilise les produits scalaire pour que vous vous habituez à les utiliser dans le calcul de la longueur d'une projection. Il est important de comprendre le raisonnement qui est ci-dessus.

3 - Une expression pour $AH$ et l'identité d'Euclide

En même temps, on peut calculer $AH$ grâce aux deux expressions pour l'aire du triangle, qui vaut $\frac{AB\cdot AC}{2}$ aussi bien que $\frac{BC\cdot AH}{2}$ ; on a donc l'identité $AB\cdot AC=BC\cdot CH$, et finalement $CH=\frac{AB\cdot AC}{BC}$.

Remarquez qu'avec ça on a l'identité cherchée, même sans faire les calculs !

En effet, on a trouvé $BH \cdot CH=\frac{AB^2\cdot AC^2}{BC^2}=CH^2$.

4 - Calculs

Pour trouver les valeurs des longueurs, il suffit de faire des petits calculs : on a

$AB^2=35^2+(14\sqrt{6})^2=7^2\cdot (25+24)=7^4$
$AC^2=(24\sqrt{6})^2+(60)^2=12^2\cdot (24+25)=12^2\cdot7^2$
$BC^2=7^4+12^2\cdot 7^2=7^2(12^2+7^2)=7^2\cdot 193$

Finalement, on trouve
$BH=AB^2/BC=7^3/\sqrt{193}$
$CH=AC^2/BC=12^2\cdot 7/\sqrt{193}$
$AH=7^2\cdot 12/\sqrt{193}$

Remarques : oui, je me suis trompée : j'avais l'intention de créer un calcul un peu plus joli. Mais une racine de quelque chose ne doit pas vous gêner ! Quand vous avez un calcul à faire, substituez les valeurs numériques aussi tard que possible : les parties 2 et 3 de cet exo sont bien plus simples à écrire, et bien plus intéressantes, sans des nombre compliqués qui peuvent nous distraire de ce que nous sommes en train de faire. Quand on arrive au calcul lui-même, il est mieux de factoriser ce qu'il y a sous les racines et de sortir les carrés, sans utiliser la calculette ; vous pouvez tout simplement laisser la racine dans le résultat !

Séance 1 – 3/11

• Équations des droites dans le plan
• La droite passante par deux points
• Droites parallèles
• Droites orthogonales
• La droite orthogonale à une droite d’équation donnée passante par un point donné

QUESTIONS:

• Donner une équation de la droite passante par $(-2,1)$ et $(3,2)$.
• Est-ce que les droites définies par $3x-4y+1=0$ et $-6x+8y-7=0$ sont parallèles ?
• Déterminer une équation de la droite orthogonale à la droite d’équation $3x-2y+7=0$ et passante par l’origine.
• Déterminer une équation de la droite orthogonale à la droite d’équation $x-3y+1=0$ et passante par $(2,3)$.

Séance 2 – 4/11

• La distance entre un point et une droite (calcul en coordonnées)
• Équations des cercles dans le plan
• Déterminer centre et rayon d’un cercle à partir de son équation
• La droite tangente à un cercle en un point donné
• Vecteurs dans le plan: somme, différence, introduction au produit scalaire

QUESTIONS:

• Quelle est la distance entre la droite d'équation $3x-y-2=0$ et le point $(1,2)$ ?
• Quelles sont les coordonnées du centre du cercle d’équation $x^2+y^2-4x+6y-87=0$ ? Quel est son rayon ?
• Soit $\Gamma$ le cercle de centre $(0,0)$ passant par le point $(3,4)$. Déterminer une équation de la droite tangente à $\Gamma$ en $(3,4)$. Quel est le rayon du cercle ?
• On considère les vecteurs $v=(1,2)$, $w=(-3,4)$ et $z=(1,3)$. Déterminer le produit scalaire entre le vecteur $v+w$ et le vecteur $z-v$. Calculer la norme (c'est-à-dire la longueur) du vecteur $v+w-z$.

Séance 3 – 5/11

• Produit scalaire de vecteurs dans le plan: projections, norme, angles
• Équation d’une droite donnée en termes d’un produit scalaire: trouver un vecteur normal
• Produit scalaire et rotations
• Distance d’une droite de l’origine
• Distance entre un point donné et une droite donnée en utilisant les produits scalaires

QUESTIONS:

• Dessiner le lieu des points $(x,y)$ tels que $(x,y)\cdot (x,y)=9$ dans le plan.
• Soient $v=(4,3)$ et $w=(1,2\sqrt{6})$ ; quel est l’angle entre $v+w$ et $v-w$ ?
• Déterminer les coordonnées d’un vecteur de longueur 1 orthogonal à la droite d’équation $5x-12y-7=0$.
• Déterminer la distance entre le point $(6,7)$ et la droite d’équation $2x-5y=0$.

Voici le planning du cours de Maths en PeiPC ; vous pouvez vous inscrire au webcalendar en cliquant sur ce lien (si vous utilisez iCal pour iOS ou OS X), ou bien en appuyant sur le bouton "+Google Agenda" ci-dessus si vous utilisez le service Google Calendar. Le planning va être mis à jour avec le programme de chaque séance et les changements d'horaire et salle, le cas échéant. En cas d'erreurs ou malfonctionnements, merci de me les signaler !