Soit une variable aléatoire de loi uniforme sur . Soit une variable al\'eatoire de loi uniforme sur . Donner un sens mathématique à la phrase précédente ; donner la loi de , et calculer l'espérance de en fonction de .
On sait que, quand , "la variable est uniforme sur ", ce qui veut dire que pour , on a .
Les valeurs possibles de sont , et pour calculer () il faut d'abord distinguer les cas possibles pour la valeur de . On a
Mais (si ) et donc
.
On a alors
Soit une variable aléatoire de loi uniforme à valeurs dans l'ensemble et une variable aléatoire telle que, conditionnellement à , suit une loi de Bernoulli de paramètre . Explicitement, on a et . Donner la loi et l'espérance de .
On remarque que, comme les valeurs possibles pour sont 0 et 1, la loi de sera forcément une loi de Bernoulli ! Il faut calculer son paramètre , c'est-à-dire la proba . On a
L'espérance de est très simple à calculer, car on a
Soit une variable aléatoire de loi de Poisson de paramètre . On suppose une variable telle que conditionnellement à , suit une loi binomiale de paramètre et . Après avoir donné un sens mathématique à la phrase précédente, montrer que est une loi de Poisson de paramètre .
On nous dit que est une variable aléatoire telle que et que est une variable de Poisson de paramètre . Pour chaque on a alors