Voici le sujet du premier contrôle, aussi bien qu'un corrigé détaillé :
PeiPC Maths – Semaine 3
Cette semaine on a parlé de
- espaces vectoriels réels, definitions et exemples
- sous-espaces vectoriels
- combinaison linéaires, le (sous)-espace engendré par un ensemble de vecteurs
QUESTIONS :
[♣︎❄︎❄︎☕︎] On considère l'espace vectoriel (réel) des polynômes à coefficients réels, avec les operations usuelles de somme et multiplication par scalaires. Dire si les sous-ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels ;
- les polynômes de qui admettent 0 comme racine ;
- les polynômes de la forme , avec ;
- les polynômes de la forme , avec , tels que le produit de leur racines est égal à 7 ;
- le polynômes de degré égal à 3 ;
- les polynômes de ayant 0 pour somme de leurs coefficients.
[♣︎❄︎❄︎☕︎] On considère l'espace , avec sa structure usuelle d'espace vectoriel réel. Dire si les ensembles suivants sont des sous-espaces de ; si c'est le cas, donner une partie génératrice (c'est-à-dire exprimer le sous-espace comme pour des vecteurs de :
- l'ensemble des vecteurs tels que ;
- l'ensemble des vecteurs tels que ;
- l'ensemble des vecteurs de la forme , avec ;
- l'ensemble des vecteurs de la forme , avec ;
- l'ensemble des vecteurs de la forme , avec ;
- l'ensemble des vecteurs de la forme , avec ;
- l'ensemble des vecteurs orthogonaux au vecteur .
Exo 6 de la feuille 1 - corrigé
On considère les points , , de coordonnées , et . Montrer que le triangle est rectangle. Soit le pied de la hauteur issue du point ; sans calculer les coordonnées de , déterminer les longueurs des segments , et (on pourra inverser la relation pour l'aire d'un triangle). Vérifier la relation (théorème d'Euclide).
1 - Le triangle ABC est rectangle
Je vais montrer que le triangle est rectangle en , c'est-à-dire que les vecteurs et sont orthogonaux.
Cela revient à vérifier que le produit scalaire est nul, et en effet
Remarques : une autre manière de montrer qu'un triangle est rectangle est de vérifier la relation du théorème de Pythagore, c'est-à-dire dans notre cas le fait que ; ça comporte plus de calculs, mais comme on aura besoin des longueurs des trois côtés plus tard, ce n'est pas forcément une mauvaise idée de les calculer au tout début de l'exo.
2 - Les projections BH et CH comme fonctions des côtés du triangle
Les segments et sont les projections des segments et le long de . Étant donné un vecteur parallèle à , on peut donc calculer leur longueurs comme et .
Le vecteur est bien parallèle au côté du triangle, ce qui implique par exemple
Mais ; de plus, on a déjà montré que (les deux sont orthogonaux) et on sait que (le produit scalaire entre un vecteur et soi-même, comme l'angle est nul, est la norme au carré).
On a donc .
De même, .
Remarques : comme on sait qu'on va devoir calculer la longueur de , on pourrait aussi utiliser le théorème de Pythagore pour exprimer et comme et . Je vous donne une solution qui utilise les produits scalaire pour que vous vous habituez à les utiliser dans le calcul de la longueur d'une projection. Il est important de comprendre le raisonnement qui est ci-dessus.
3 - Une expression pour et l'identité d'Euclide
En même temps, on peut calculer grâce aux deux expressions pour l'aire du triangle, qui vaut aussi bien que ; on a donc l'identité , et finalement .
Remarquez qu'avec ça on a l'identité cherchée, même sans faire les calculs !
En effet, on a trouvé .
4 - Calculs
Pour trouver les valeurs des longueurs, il suffit de faire des petits calculs : on a
Finalement, on trouve
Remarques : oui, je me suis trompée : j'avais l'intention de créer un calcul un peu plus joli. Mais une racine de quelque chose ne doit pas vous gêner ! Quand vous avez un calcul à faire, substituez les valeurs numériques aussi tard que possible : les parties 2 et 3 de cet exo sont bien plus simples à écrire, et bien plus intéressantes, sans des nombre compliqués qui peuvent nous distraire de ce que nous sommes en train de faire. Quand on arrive au calcul lui-même, il est mieux de factoriser ce qu'il y a sous les racines et de sortir les carrés, sans utiliser la calculette ; vous pouvez tout simplement laisser la racine dans le résultat !
PeiPC Maths – Semaine 1
Séance 1 – 3/11
- Équations des droites dans le plan
- La droite passante par deux points
- Droites parallèles
- Droites orthogonales
- La droite orthogonale à une droite d’équation donnée passante par un point donné
QUESTIONS:
- Donner une équation de la droite passante par et .
- Est-ce que les droites définies par et sont parallèles ?
- Déterminer une équation de la droite orthogonale à la droite d’équation et passante par l’origine.
- Déterminer une équation de la droite orthogonale à la droite d’équation et passante par .
Séance 2 – 4/11
- La distance entre un point et une droite (calcul en coordonnées)
- Équations des cercles dans le plan
- Déterminer centre et rayon d’un cercle à partir de son équation
- La droite tangente à un cercle en un point donné
- Vecteurs dans le plan: somme, différence, introduction au produit scalaire
QUESTIONS:
- Quelle est la distance entre la droite d'équation et le point ?
- Quelles sont les coordonnées du centre du cercle d’équation ? Quel est son rayon ?
- Soit le cercle de centre passant par le point . Déterminer une équation de la droite tangente à en . Quel est le rayon du cercle ?
- On considère les vecteurs , et . Déterminer le produit scalaire entre le vecteur et le vecteur . Calculer la norme (c'est-à-dire la longueur) du vecteur .
Séance 3 – 5/11
- Produit scalaire de vecteurs dans le plan: projections, norme, angles
- Équation d’une droite donnée en termes d’un produit scalaire: trouver un vecteur normal
- Produit scalaire et rotations
- Distance d’une droite de l’origine
- Distance entre un point donné et une droite donnée en utilisant les produits scalaires
QUESTIONS:
- Dessiner le lieu des points tels que dans le plan.
- Soient et ; quel est l’angle entre et ?
- Déterminer les coordonnées d’un vecteur de longueur 1 orthogonal à la droite d’équation .
- Déterminer la distance entre le point et la droite d’équation .
PeiPC Maths Planning
Voici le planning du cours de Maths en PeiPC ; vous pouvez vous inscrire au webcalendar en cliquant sur ce lien (si vous utilisez iCal pour iOS ou OS X), ou bien en appuyant sur le bouton "+Google Agenda" ci-dessus si vous utilisez le service Google Calendar. Le planning va être mis à jour avec le programme de chaque séance et les changements d'horaire et salle, le cas échéant. En cas d'erreurs ou malfonctionnements, merci de me les signaler !
PeiPC – Mathématiques 1
Je vais succeder au Prof. Santharoubane comme chargée du cours de Maths en PeiPC, module d'Algèbre/Géométrie, qui va se dérouler à partir du 3 Novembre 2015.
Un programme provisionnel inclut :
- Droites, plans, equations cartésiennes et forme paramétrique
- Produit scalaire et produit vectoriel
- Nombre complexes : trigonométrie, exponentielle complexe, le plan d'Argand-Gauss
- Espaces vectoriels et affines, sous-espaces : indépendance linéaire, bases, formule de Grassmann
- Applications linéaires et matrices, théorème du rang, changement de bases
Après une introduction à la géométrie en et et aux nombres complexes, on va traiter les thèmes du poly de PeiP1 S2, que vous pouvez utiliser comme référence.
L2S4 – Math207 (Probabilités et Statistiques)
Ce semestre je suis chargée de TD pour le l'UE Math207 - Probabilités et Statistiques I ; les TD auront lieu le mardi matin de 8h30 à 10h45 pour les PM et le jeudi de 8h30 à 10h45 pour les Matheux, groupes 5 et 6.
Pour tout renseignements complémentaires, voir Dokéos.
Thème 2 Exercice 3
Voici une petite vidéo que j'ai préparé sur l'exercice 3 du thème 2 et les tests de Student...
L2S3 – Math291 (Tests Statistiques pour la Biologie)
Je suis chargée de TD pour l'UE Math291 ("Tests Statistiques pour la Biologie"), groupe 9.
TDs:
Lundi 15 septembre, 9.00-12.00
Jeudi 25 septembre, 9.00-12.00
Lundi 6 septembre, 9.00-12.00
Lundi 3 novembre, 9.00-12.00
Lundi 10 novembre, 9.00-12.00
Partiel: mardi 23 octobre, 10.30-12.30
Examen: mardi 16 decembre