PeiPC Maths – Semaine 3

Standard

Cette semaine on a parlé de

  • espaces vectoriels réels, definitions et exemples
  • sous-espaces vectoriels
  • combinaison linéaires, le (sous)-espace engendré par un ensemble de vecteurs

QUESTIONS :

[♣︎❄︎❄︎☕︎] On considère l'espace vectoriel (réel) \mathbb{R}[x] des polynômes à coefficients réels, avec les operations usuelles de somme et multiplication par scalaires. Dire si les sous-ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels ;

  • les polynômes de \mathbb{R}[x] qui admettent 0 comme racine ;
  • les polynômes de la forme ax^3+bx^2+cx+d, avec a,b,c,d\in\mathbb{R} ;
  • les polynômes de la forme ax^3+bx^2+cx+d, avec a,b,c,d\in\mathbb{R}, tels que le produit de leur racines est égal à 7 ;
  • le polynômes de degré égal à 3 ;
  • les polynômes de \mathbb{R}[x] ayant 0 pour somme de leurs coefficients.

[♣︎❄︎❄︎☕︎] On considère l'espace \mathbb{R}^3, avec sa structure usuelle d'espace vectoriel réel. Dire si les ensembles suivants sont des sous-espaces de \mathbb{R}^3 ; si c'est le cas, donner une partie génératrice (c'est-à-dire exprimer le sous-espace comme \operatorname{Vect}(v_1,\ldots, v_n) pour des vecteurs v_1,\ldots,v_n de \mathbb{R}^3 :

  • l'ensemble des vecteurs (x,y,z) tels que x+3y+z=0 ;
  • l'ensemble des vecteurs (x,y,z) tels que x^2+y^2+z^2=0 ;
  • l'ensemble des vecteurs de la forme (x,y,1), avec x,y\in\mathbb{R} ;
  • l'ensemble des vecteurs de la forme (t,s+t,s-t), avec s,t\in\mathbb{R} ;
  • l'ensemble des vecteurs de la forme (2t,s-t+1,s), avec s,t\in\mathbb{R} ;
  • l'ensemble des vecteurs de la forme (2a,2b,2c), avec a,b,c\in\mathbb{Z} ;
  • l'ensemble des vecteurs orthogonaux au vecteur (1,7,-2).

Exo 6 de la feuille 1 - corrigé

Standard

On considère les points A, B, C de coordonnées (0,0), (35,-14\sqrt{6}) et (24\sqrt{6},60). Montrer que le triangle ABC est rectangle. Soit H le pied de la hauteur issue du point A ; sans calculer les coordonnées de H, déterminer les longueurs des segments BH, CH et AH (on pourra inverser la relation 2\operatorname{Aire}=b\cdot h pour l'aire d'un triangle). Vérifier la relation BH\cdot CH=AH^2 (théorème d'Euclide).

1 - Le triangle ABC est rectangle

Je vais montrer que le triangle ABC est rectangle en A, c'est-à-dire que les vecteurs \vec{B}=(35,-14\sqrt{6}) et \vec{C}=(24\sqrt{6},60) sont orthogonaux.

Cela revient à vérifier que le produit scalaire \vec{B}\cdot \vec{C} est nul, et en effet
\vec{B}\cdot \vec{C}=35\cdot 24\sqrt{6}-14\sqrt{6}\cdot 60=7\cdot 5\cdot 6\cdot 4\cdot\sqrt{6}-7\cdot 2\cdot 6\cdot 5\cdot 2\cdot \sqrt{6}=0.

Remarques : une autre manière de montrer qu'un triangle est rectangle est de vérifier la relation du théorème de Pythagore, c'est-à-dire dans notre cas le fait que BC^2=AB^2+AC^2 ; ça comporte plus de calculs, mais comme on aura besoin des longueurs des trois côtés plus tard, ce n'est pas forcément une mauvaise idée de les calculer au tout début de l'exo.

2 - Les projections BH et CH comme fonctions des côtés du triangle

pic

Les segments BH et CH sont les projections des segments AB et AC le long de BC. Étant donné un vecteur v parallèle à BC, on peut donc calculer leur longueurs comme BH=\frac{|\vec{B}\cdot v|}{|v|} et AH=\frac{|\vec{A} \cdot v|}{|v|}.

Le vecteur \vec{B}-\vec{C} est bien parallèle au côté BC du triangle, ce qui implique par exemple BH=\frac{|\vec{B}\cdot (\vec{B}-\vec{C})|}{BC}.
Mais \vec{B}\cdot (\vec{B}-\vec{C})=\vec{B}\cdot\vec{B}-\vec{B}\cdot\vec{C} ; de plus, on a déjà montré que \vec{B}\cdot\vec{C}=0 (les deux sont orthogonaux) et on sait que \vec{B}\cdot\vec{B}=|\vec{B}|^2={AB}^2 (le produit scalaire entre un vecteur et soi-même, comme l'angle est nul, est la norme au carré).

On a donc BH=AB^2/BC.

De même, CH=\frac{|\vec{C}\cdot (\vec{B}-\vec{C})|}{BC}=\frac{|\vec{C}\cdot\vec{B}-\vec{C}\cdot\vec{C}|}{BC}=\frac{AC^2}{BC}.

Remarques : comme on sait qu'on va devoir calculer la longueur de AH, on pourrait aussi utiliser le théorème de Pythagore pour exprimer BH et CH comme \sqrt{AB^2-AH^2} et \sqrt{AC^2-AH^2}. Je vous donne une solution qui utilise les produits scalaire pour que vous vous habituez à les utiliser dans le calcul de la longueur d'une projection. Il est important de comprendre le raisonnement qui est ci-dessus.

3 - Une expression pour AH et l'identité d'Euclide

En même temps, on peut calculer AH grâce aux deux expressions pour l'aire du triangle, qui vaut \frac{AB\cdot AC}{2} aussi bien que \frac{BC\cdot AH}{2} ; on a donc l'identité AB\cdot AC=BC\cdot CH, et finalement CH=\frac{AB\cdot AC}{BC}.

Remarquez qu'avec ça on a l'identité cherchée, même sans faire les calculs !

En effet, on a trouvé BH \cdot CH=\frac{AB^2\cdot AC^2}{BC^2}=CH^2.

4 - Calculs

Pour trouver les valeurs des longueurs, il suffit de faire des petits calculs : on a

AB^2=35^2+(14\sqrt{6})^2=7^2\cdot (25+24)=7^4
AC^2=(24\sqrt{6})^2+(60)^2=12^2\cdot (24+25)=12^2\cdot7^2
BC^2=7^4+12^2\cdot 7^2=7^2(12^2+7^2)=7^2\cdot 193

Finalement, on trouve
BH=AB^2/BC=7^3/\sqrt{193}
CH=AC^2/BC=12^2\cdot 7/\sqrt{193}
AH=7^2\cdot 12/\sqrt{193}

Remarques : oui, je me suis trompée : j'avais l'intention de créer un calcul un peu plus joli. Mais une racine de quelque chose ne doit pas vous gêner ! Quand vous avez un calcul à faire, substituez les valeurs numériques aussi tard que possible : les parties 2 et 3 de cet exo sont bien plus simples à écrire, et bien plus intéressantes, sans des nombre compliqués qui peuvent nous distraire de ce que nous sommes en train de faire. Quand on arrive au calcul lui-même, il est mieux de factoriser ce qu'il y a sous les racines et de sortir les carrés, sans utiliser la calculette ; vous pouvez tout simplement laisser la racine dans le résultat !

PeiPC Maths – Semaine 1

Standard

Séance 1 – 3/11

  • Équations des droites dans le plan
  • La droite passante par deux points
  • Droites parallèles
  • Droites orthogonales
  • La droite orthogonale à une droite d’équation donnée passante par un point donné

QUESTIONS:

  • Donner une équation de la droite passante par (-2,1) et (3,2).
  • Est-ce que les droites définies par 3x-4y+1=0 et -6x+8y-7=0 sont parallèles ?
  • Déterminer une équation de la droite orthogonale à la droite d’équation 3x-2y+7=0 et passante par l’origine.
  • Déterminer une équation de la droite orthogonale à la droite d’équation x-3y+1=0 et passante par (2,3).

Séance 2 – 4/11

  • La distance entre un point et une droite (calcul en coordonnées)
  • Équations des cercles dans le plan
  • Déterminer centre et rayon d’un cercle à partir de son équation
  • La droite tangente à un cercle en un point donné
  • Vecteurs dans le plan: somme, différence, introduction au produit scalaire

QUESTIONS:

  • Quelle est la distance entre la droite d'équation 3x-y-2=0 et le point (1,2) ?
  • Quelles sont les coordonnées du centre du cercle d’équation x^2+y^2-4x+6y-87=0 ? Quel est son rayon ?
  • Soit \Gamma le cercle de centre (0,0) passant par le point (3,4). Déterminer une équation de la droite tangente à \Gamma en (3,4). Quel est le rayon du cercle ?
  • On considère les vecteurs v=(1,2), w=(-3,4) et z=(1,3). Déterminer le produit scalaire entre le vecteur v+w et le vecteur z-v. Calculer la norme (c'est-à-dire la longueur) du vecteur v+w-z.

Séance 3 – 5/11

  • Produit scalaire de vecteurs dans le plan: projections, norme, angles
  • Équation d’une droite donnée en termes d’un produit scalaire: trouver un vecteur normal
  • Produit scalaire et rotations
  • Distance d’une droite de l’origine
  • Distance entre un point donné et une droite donnée en utilisant les produits scalaires

QUESTIONS:

  • Dessiner le lieu des points (x,y) tels que (x,y)\cdot (x,y)=9 dans le plan.
  • Soient v=(4,3) et w=(1,2\sqrt{6}) ; quel est l’angle entre v+w et v-w ?
  • Déterminer les coordonnées d’un vecteur de longueur 1 orthogonal à la droite d’équation 5x-12y-7=0.
  • Déterminer la distance entre le point (6,7) et la droite d’équation 2x-5y=0.

PeiPC Maths Planning

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Voici le planning du cours de Maths en PeiPC ; vous pouvez vous inscrire au webcalendar en cliquant sur ce lien (si vous utilisez iCal pour iOS ou OS X), ou bien en appuyant sur le bouton "+Google Agenda" ci-dessus si vous utilisez le service Google Calendar. Le planning va être mis à jour avec le programme de chaque séance et les changements d'horaire et salle, le cas échéant. En cas d'erreurs ou malfonctionnements, merci de me les signaler !

PeiPC – Mathématiques 1

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Je vais succeder au Prof. Santharoubane comme chargée du cours de Maths en PeiPC, module d'Algèbre/Géométrie, qui va se dérouler à partir du 3 Novembre 2015.

xkcd

Un programme provisionnel inclut :

  • Droites, plans, equations cartésiennes et forme paramétrique
  • Produit scalaire et produit vectoriel
  • Nombre complexes : trigonométrie, exponentielle complexe, le plan d'Argand-Gauss
  • Espaces vectoriels et affines, sous-espaces : indépendance linéaire, bases, formule de Grassmann
  • Applications linéaires et matrices, théorème du rang, changement de bases

Après une introduction à la géométrie en \mathbb{R}^2 et \mathbb{R}^3 et aux nombres complexes, on va traiter les thèmes du poly de PeiP1 S2, que vous pouvez utiliser comme référence.