Exo 6 de la feuille 1 - corrigé

On considère les points $A$, $B$, $C$ de coordonnées $(0,0)$, $(35,-14\sqrt{6})$ et $(24\sqrt{6},60)$. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle. Soit $H$ le pied de la hauteur issue du point $A$ ; sans calculer les coordonnées de $H$, déterminer les longueurs des segments $BH$, $CH$ et $AH$ (on pourra inverser la relation $2\operatorname{Aire}=b\cdot h$ pour l'aire d'un triangle). Vérifier la relation $BH\cdot CH=AH^2$ (théorème d'Euclide).

1 - Le triangle ABC est rectangle

Je vais montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, c'est-à-dire que les vecteurs $\vec{B}=(35,-14\sqrt{6})$ et $\vec{C}=(24\sqrt{6},60)$ sont orthogonaux.

Cela revient à vérifier que le produit scalaire $\vec{B}\cdot \vec{C}$ est nul, et en effet
$\vec{B}\cdot \vec{C}=35\cdot 24\sqrt{6}-14\sqrt{6}\cdot 60=7\cdot 5\cdot 6\cdot 4\cdot\sqrt{6}-7\cdot 2\cdot 6\cdot 5\cdot 2\cdot \sqrt{6}=0.$

Remarques : une autre manière de montrer qu'un triangle est rectangle est de vérifier la relation du théorème de Pythagore, c'est-à-dire dans notre cas le fait que $BC^2=AB^2+AC^2$ ; ça comporte plus de calculs, mais comme on aura besoin des longueurs des trois côtés plus tard, ce n'est pas forcément une mauvaise idée de les calculer au tout début de l'exo.

2 - Les projections BH et CH comme fonctions des côtés du triangle

Les segments $BH$ et $CH$ sont les projections des segments $AB$ et $AC$ le long de $BC$. Étant donné un vecteur $v$ parallèle à $BC$, on peut donc calculer leur longueurs comme $BH=\frac{|\vec{B}\cdot v|}{|v|}$ et $AH=\frac{|\vec{A} \cdot v|}{|v|}$.

Le vecteur $\vec{B}-\vec{C}$ est bien parallèle au côté $BC$ du triangle, ce qui implique par exemple $BH=\frac{|\vec{B}\cdot (\vec{B}-\vec{C})|}{BC}.$
Mais $\vec{B}\cdot (\vec{B}-\vec{C})=\vec{B}\cdot\vec{B}-\vec{B}\cdot\vec{C}$ ; de plus, on a déjà montré que $\vec{B}\cdot\vec{C}=0$ (les deux sont orthogonaux) et on sait que $\vec{B}\cdot\vec{B}=|\vec{B}|^2={AB}^2$ (le produit scalaire entre un vecteur et soi-même, comme l'angle est nul, est la norme au carré).

On a donc $BH=AB^2/BC$.

De même, $CH=\frac{|\vec{C}\cdot (\vec{B}-\vec{C})|}{BC}=\frac{|\vec{C}\cdot\vec{B}-\vec{C}\cdot\vec{C}|}{BC}=\frac{AC^2}{BC}$.

Remarques : comme on sait qu'on va devoir calculer la longueur de $AH$, on pourrait aussi utiliser le théorème de Pythagore pour exprimer $BH$ et $CH$ comme $\sqrt{AB^2-AH^2}$ et $\sqrt{AC^2-AH^2}$. Je vous donne une solution qui utilise les produits scalaire pour que vous vous habituez à les utiliser dans le calcul de la longueur d'une projection. Il est important de comprendre le raisonnement qui est ci-dessus.

3 - Une expression pour $AH$ et l'identité d'Euclide

En même temps, on peut calculer $AH$ grâce aux deux expressions pour l'aire du triangle, qui vaut $\frac{AB\cdot AC}{2}$ aussi bien que $\frac{BC\cdot AH}{2}$ ; on a donc l'identité $AB\cdot AC=BC\cdot CH$, et finalement $CH=\frac{AB\cdot AC}{BC}$.

Remarquez qu'avec ça on a l'identité cherchée, même sans faire les calculs !

En effet, on a trouvé $BH \cdot CH=\frac{AB^2\cdot AC^2}{BC^2}=CH^2$.

4 - Calculs

Pour trouver les valeurs des longueurs, il suffit de faire des petits calculs : on a

$AB^2=35^2+(14\sqrt{6})^2=7^2\cdot (25+24)=7^4$
$AC^2=(24\sqrt{6})^2+(60)^2=12^2\cdot (24+25)=12^2\cdot7^2$
$BC^2=7^4+12^2\cdot 7^2=7^2(12^2+7^2)=7^2\cdot 193$

Finalement, on trouve
$BH=AB^2/BC=7^3/\sqrt{193}$
$CH=AC^2/BC=12^2\cdot 7/\sqrt{193}$
$AH=7^2\cdot 12/\sqrt{193}$

Remarques : oui, je me suis trompée : j'avais l'intention de créer un calcul un peu plus joli. Mais une racine de quelque chose ne doit pas vous gêner ! Quand vous avez un calcul à faire, substituez les valeurs numériques aussi tard que possible : les parties 2 et 3 de cet exo sont bien plus simples à écrire, et bien plus intéressantes, sans des nombre compliqués qui peuvent nous distraire de ce que nous sommes en train de faire. Quand on arrive au calcul lui-même, il est mieux de factoriser ce qu'il y a sous les racines et de sortir les carrés, sans utiliser la calculette ; vous pouvez tout simplement laisser la racine dans le résultat !