PeiPC Maths – Semaine 4

QUESTIONS :

• [♣︎❄︎❄︎] Déterminer des equations pour chacun des espaces suivants ; pour chacun, exhiber une base et calculer sa dimension.
  $E_1=\operatorname{Vect}\left(\begin{pmatrix}1\\2\\-4\\3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\0\\3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\-2\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\-1\\2\\6\end{pmatrix}\right)$
  $E_2=\operatorname{Vect}\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}\right)$
  $E_3=\operatorname{Vect}\left(\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\-3\\3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1\\-2\\2\\7\end{pmatrix}\right)$
• [♣︎❄︎] Montrer que la famille
  $v_1=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\\-1\end{pmatrix},v_2=\begin{pmatrix}2\\0\\-1\\3\end{pmatrix},v_3=\begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\end{pmatrix}$
  est libre ; montrer que les vecteurs
  $\begin{pmatrix}3\\0\\1\\2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1\\-2\\6\\-9\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}$
  appartiennent à l'espace $\operatorname{Vect}(v_1,v_2,v_3)$ et déterminer les coordonnées de chacun par rapport à la base $\{v_1,v_2,v_3\}$.

• [♣︎❄︎] Exhiber une base de $\mathbb{R}^5$ qui contient les vecteurs
  $w_1=\begin{pmatrix}3\\0\\1\\-1\\2\end{pmatrix},w_2=\begin{pmatrix}2\\4\\1\\1\\5\end{pmatrix}.$
  Déterminer des équation pour l'espace $\operatorname{Vect}(w_1,w_2)$. Quelle est sa dimension ?
• [♣︎❄︎❄︎] Pour chacun des systèmes linéaires homogènes suivants, déterminer une base de l'espace des solutions :
  $\begin{cases}3x+y-z=0\\x+z=0\end{cases}$ (sous-espace de $\mathbb{R}^3$)
  $\begin{cases}x-z+w=0\\x-y+z=0\end{cases}$ (sous-espace de $\mathbb{R}^4$)
  $x+5y+z+2w=0$ (sous-espace de $\mathbb{R}^4$)