Problème 7. On considère les vecteurs
Soient et
. Déterminer une base de
. Quelle est la dimension de l'espace engendré par
et
?
Un vecteur de appartient à
si et seulement si il est à la fois une combinaison linéaire de
et une combinaison linéaire de
, c'est-à-dire
si et seulement s'il existe
tels que
On cherche donc tels que
En utilisant la première equation et la deuxième, on obtient , d'où (3ème equation)
, et donc
. On a ainsi
,
,
, et donc finalement les vecteurs dans
sont tous de la forme
pour . L'espace
est donc la droite engendrée par le vecteur
(qui est bien une base de la droite elle-même).
Comme on a montré que , la formule de Grassmann nous assure que
,
donc que l'espace engendré par et
est bien
.