Exo 7 Feuille 3 – Corrigé

Problème 7. On considère les vecteurs
$v_1=\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, v_2=\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, w_1=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, w_2=\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}.$
Soient $V=\operatorname{Vect}(v_1,v_2)$ et $W=\operatorname{Vect}(w_1,w_2)$. Déterminer une base de $V \cap W$. Quelle est la dimension de l'espace engendré par $V$ et $W$ ?

Un vecteur de $\mathbb{R}^3$ appartient à $V\cap W$ si et seulement si il est à la fois une combinaison linéaire de $v_1,v_2$ et une combinaison linéaire de $w_1,w_2$, c'est-à-dire $u\in V\cap W$ si et seulement s'il existe $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ tels que

$u=av_1+bv_2=cw_1+dw_2.$

On cherche donc $a,b,c,d$ tels que

$\begin{cases}b=c+2d\\a-b=c-d\\2a+b=-d\end{cases}.$

En utilisant la première equation et la deuxième, on obtient $a=2c+d$, d'où (3ème equation) $4c+2d+c+2d=-d$, et donc $c=-d$. On a ainsi $a=-d$, $b=d$, $c=-d$, et donc finalement les vecteurs dans $V\cap W$ sont tous de la forme

$-dv_1+dv_2=-dw_1+dw_2=d\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix},$

pour $d\in\mathbb{R}$. L'espace $V\cap W$ est donc la droite engendrée par le vecteur $\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}$ (qui est bien une base de la droite elle-même).

Comme on a montré que $\operatorname{dim}V\cap W=1$, la formule de Grassmann nous assure que

$\operatorname{dim}V+V=\operatorname{dim}V+\operatorname{dim}W-\operatorname{dim}V\cap W=2+2-1=3$,

donc que l'espace engendré par $V$ et $W$ est bien $\mathbb{R}^3$.