PeiPC Maths – Semaine 6

Applications linéaires et matrices

QUESTIONS :

[♠︎❄︎] Pour chaque couple (matrice $M$, vecteur $v$) dire si le produit matrice par vecteur $Mv$ a un sens et, dans ce cas, le calculer.

• $M=\begin{pmatrix} 11 & -3 \\ 7 & 13 \end{pmatrix}$, $v=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$
• $M=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}$, $v=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$
• $M=\begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ -9 & 7 & -1 \end{pmatrix}$, $v=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}$
• $M=\begin{pmatrix} 2 & -9 \\ 0 & 7 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$, $v=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}$
• $M=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 7 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $v=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

[♠︎❄︎] Pour chaque couple de matrices $(M_1, M_2)$ dire si le produit matriciel $M_1M_2$ a un sens et, dans ce cas, le calculer.

• $M_1=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}$, $M_2=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$
• $M_1=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$, $M_2=\begin{pmatrix} -5 & 4 & 2\\ -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}$
• $M_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$, $M_2=\begin{pmatrix} 2 & -3 & 1\\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$
• $M_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $M_2=\begin{pmatrix} 13 & -3 & 5\\ -3 & 7 & 4 \\ 11 & -3 & 2 \end{pmatrix}$ (que remarquez-vous ? Auriez-vous pu prédire le résultat ?)
• $M_1=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$, $M_2=\begin{pmatrix} -1 & -2\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
• $M_1=\begin{pmatrix} -1 & -2\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $M_2=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ (que remarquez-vous par rapport à la question précédente ?)

[♠︎❄︎] Pour chacune des matrices $M$ suivantes, soit $f$ l'unique application linéaire de $\mathbb{R}^m$ vers $\mathbb{R}^n$ représentée par $M$ (dans les bases canoniques). Dans chaque cas, préciser $m$ et $n$, et calculer $\dim \ker f$ et $\dim \operatorname{Im} f$. Quand $\ker f$ est non trivial, en déterminer une base.

• $M=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$
• $M=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & -1 \end{pmatrix}$
• $M=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 5 & 7 & 9 \end{pmatrix}$
• $M=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}$
• $M=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 3 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
• $M=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 4 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$