Feuille 4 exo 1 – corrigé

On dispose de 4 boîtes numérotées de 0 à 3. La boîte numéro 3 contient 3 boules blanches, la boîte numéro 2 2 boules blanches et 1 boule noire, la boîte numéro 1 1 boule blanche et 2 boules noires et la boîte numéro 0 3 boules noires. On choisit une boîte au hasard et 2 boules dans cette boîte. Soit $X$ le numéro de la boîte tirée et $Y$ le nombre de boules blanches tirées. Trouver la loi de $(X,Y)$, puis celle de $Y$. Quel sera le signe de la covariance entre $X$ et $Y$ ? (On demande un raisonnement et non un calcul.)

Voici une solution détaillée en plusieurs étapes ; essayez de répondre à chaque question vous mêmes avant de lire la réponse !

Quelles sont les valeurs possibles pour $X$ ?

Les valeurs possibles sont 0, 1, 2, 3, c’est à dire les nombres associés aux 4 boîtes.

Quelles sont les valeurs possibles pour $Y$ ?

Il s’agit des valeurs 0, 1, 2 : au minimum on va tirer 0 boules blanches, et au maximum 2 (comme l’expérience consiste à tirer deux boules de l'une des 4 boîtes).

Trouver la loi de $(X,Y)$.

Il faut remplir une table comme la suivante avec les probabilités que $X=i$ et $Y=j$, pour tout couples d'entiers $(i,j)$ où $i$ est entre 0 et 3, $j$ entre 0 et 2.

$\begin{array}{c|ccc} X\diagdown Y & 0 & 1 & 2 \\\hline 0 & 1/4 & 0 & 0\\ 1 & 1/12 & 2/12 & 0 \\ 2 & 0 & 2/12 & 1/12 \\ 3 & 0 & 0 & 1/4 \end{array}$

Par exemple, la table dit que $P(X=1,Y=1)=2/12=1/6$. Mais comment est-ce qu'on l'a remplie ?

On va d'abord s'occuper de la première ligne ; on cherche donc $P(X=0,Y=i)$ pour $i=0,1,2$. On sait que $P(X=0,Y=1)=P(X=0,Y=2)=0$, parce que il n'y a pas de boules blanches dans la boîte 0 (il est donc impossible de choisir la boîte 0 et d'en tirer une ou deux boules blanches). Par contre, on a $P(X=0, Y=0)=1/4$, c'est-à-dire la probabilité de choisir la boîte 0 (après, $Y=0$ est garanti).

On calcul les probas de la dernière ligne exactement de la même façon : il y a que des boules blanches dans la boîte 3 (on en tirera forcement 2 boules blanches), donc $P(X=3, Y=0)=P(X=3, Y=1)=0$ et $P(X=3, Y=2)=1/4$.

Pour la deuxième ligne, on veut les probas de choisir la boîte 1 (qui a une boule blanche, deux noires) et en tirer $i$ boules blanches ($i=0,1,2$). Il est assez simple de calculer ces probas directement, mais on va faire un arbre pour mieux clarifier la situation :

Sachant qu'on a choisit la boîte 1, la proba de tirer 0 boules blanches est $1/3$ (c'est la proba de tirer deux fois une boule noire) et la proba d'en tirer une est $2/3$ (soit on tire une blanche, puis une noire, soit une noire, puis une blanche). On pourrait aussi faire un raisonnement du type: on tire 0 blanches si la boule qui reste est la blanche (proba 1/3) et exactement une blanche si la boule qui reste est noire (2 chances sur 3). Comme la proba de choisir la boîte 1 est 1/4, on a $P(X=1,Y=0)=\frac14\cdot\frac13=1/12$, $P(X=1,Y=1)=2/12$, $P(X=1, Y=2)=0$.

La situation de la boîte 2 est exactement symétrique.

Quel sera le signe de la covariance ?

Quand $X$ est plus grand, la proba que $Y$ soit grand augmente, car il y a plus de boules blanches dans les boîtes associées à un nombre plus grand. On s’attend donc une covariance positive.

Essayez de répondre aux questions suivantes pour vous entraîner !

• Calculer la loi de $Y$.
• Calculer l'esperance de $X$ et celle de $Y$.
• Calculer $Cov(X,Y)$.

[Réponses : la loi de $Y$ est uniforme sur $\{0,1,2\}$ (chaque résultat a proba 1/3) ; $E(X)=3/2$ ; $E(Y)=1$ ; $Cov(X,Y)=5/6$.]