Soit
une variable aléatoire de loi uniforme sur
. Soit
une variable al\'eatoire de loi uniforme sur
. Donner un sens mathématique à la phrase précédente ; donner la loi de
, et calculer l'espérance de
en fonction de
.
On sait que, quand , "la variable
est uniforme sur
", ce qui veut dire que pour
, on a
.
Les valeurs possibles de sont
, et pour calculer
(
) il faut d'abord distinguer les cas possibles pour la valeur de
. On a
Mais (si
) et donc
.
On a alors
Soit
une variable aléatoire de loi uniforme à valeurs dans l'ensemble
et
une variable aléatoire telle que, conditionnellement à
,
suit une loi de Bernoulli de paramètre
. Explicitement, on a
et
. Donner la loi et l'espérance de
.
On remarque que, comme les valeurs possibles pour sont 0 et 1, la loi de
sera forcément une loi de Bernoulli ! Il faut calculer son paramètre
, c'est-à-dire la proba
. On a
L'espérance de est très simple à calculer, car on a
Soit
une variable aléatoire de loi de Poisson de paramètre
. On suppose une variable
telle que conditionnellement à
,
suit une loi binomiale de paramètre
et
. Après avoir donné un sens mathématique à la phrase précédente, montrer que
est une loi de Poisson de paramètre
.
On nous dit que est une variable aléatoire telle que
et que
est une variable de Poisson de paramètre
. Pour chaque
on a alors