Math207 – Corrigé de l'exo 6 (feuille 3)

Soit $X$ une variable aléatoire de loi uniforme sur $\{1, . . . , n\}$. Soit $Y$ une variable al\'eatoire de loi uniforme sur $\{1, . . . ,X\}$. Donner un sens mathématique à la phrase précédente ; donner la loi de $Y$, et calculer l'espérance de $Y$ en fonction de $n$.

On sait que, quand $X=k$, "la variable $Y$ est uniforme sur $\{0,\ldots,k\}$", ce qui veut dire que pour $i=1,\ldots,k$, on a $P(Y=i|X=k)=1/k$.
Les valeurs possibles de $Y$ sont $\{1, 2, \ldots, n\}$, et pour calculer $P(Y=i)$ ($i\in\{1,\ldots, n\}$) il faut d'abord distinguer les cas possibles pour la valeur de $X$. On a
$P(Y=i)=P(Y=i\mbox{ et }X=i)+P(Y=i\mbox{ et }X=i+1)+\ldots+P(Y=i\mbox{ et }X=n)=\sum_{k=i}^nP(Y=i\mbox{ et }X=k).$
Mais $P(Y=i\mbox{ et }X=k)=P(X=k)P(Y=i|X=k)=(1/n)\cdot(1/k)$ (si $i\leq k$) et donc
$P(Y=i)=\sum_{k=i}^n\frac{1}{nk}$.
On a alors $E(Y)=\sum_{i=1}^n iP(Y=i)=\sum_{i=1}^n i\sum_{k=i}^n \frac{1}{nk}=\sum_{1\leq i\leq k\leq n}\frac{i}{nk}=\sum_{k=1}^n\sum_{i=1}^k\frac{i}{nk}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{nk} \sum_{i=1}^k i=\sum_{k=1}^n \frac{k(k+1)}{2nk}=\frac{1}{2n}(\sum_{k=1}^n k +\sum_{k=1}^n 1)=\frac{1}{2n}(\frac{n(n+1)}{2}+n)=\frac{n+1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{n+3}{4}.$

Soit $U$ une variable aléatoire de loi uniforme à valeurs dans l'ensemble $\{1, 2, . . . , n\}$ et $V$ une variable aléatoire telle que, conditionnellement à $U$, $V$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $U/n$. Explicitement, on a $P(V = 1|U = k) = k/n$ et $P(V = 0|U = k) = 1 - k/n$. Donner la loi et l'espérance de $V$.

On remarque que, comme les valeurs possibles pour $V$ sont 0 et 1, la loi de $V$ sera forcément une loi de Bernoulli ! Il faut calculer son paramètre $p$, c'est-à-dire la proba $P(V=1)$. On a
$P(V=1)=\sum_{k=1}^n P(V=1\mbox{ et }U=k)=\sum_{k=1}^n P(U=k)P(V=1|U=k)=\sum_{k=1}^n (1/n)\cdot (k/n)=\sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2}=\frac{n(n+1)}{2n^2}=\frac{n+1}{2n}.$
L'espérance de $V$ est très simple à calculer, car on a $E(V)=1\cdot P(V=1)+0\cdot P(V=0)=P(V=1)=\frac{n+1}{2n}.$

Soit $X$ une variable aléatoire de loi de Poisson de paramètre $\lambda$. On suppose une variable $Y$ telle que conditionnellement à $X$, $Y$ suit une loi binomiale de paramètre $X$ et $p$. Après avoir donné un sens mathématique à la phrase précédente, montrer que $Y$ est une loi de Poisson de paramètre $\lambda p$.

On nous dit que $Y$ est une variable aléatoire telle que $P(Y=i|X=k)={k\choose i}p^i(1-p)^{k-i}$ et que $X$ est une variable de Poisson de paramètre $\lambda$. Pour chaque $i\in\mathbb{N}$ on a alors
$P(Y=i)=\sum_{k\geq i}P(Y=i\mbox{ et }X=k)=\sum_{k\geq i}P(X=k)P(Y=i|X=k)=\sum_{k\geq i}\frac{\lambda^k}{k!e^\lambda}\cdot {k\choose i}p^i(1-p)^{k-i}=\frac{p^i}{e^\lambda}\sum_{k\geq 0}\frac{\lambda^{k+i}}{(k+i)!}{k+i \choose i}(1-p)^k=\frac{p^i}{e^\lambda}\sum_{k\geq 0}\frac{\lambda^{k+i}(k+i)!}{(k+i)!i!k!}(1-p)^k=\frac{(\lambda p)^i}{i!e^\lambda}\sum_{k\geq 0}\frac{(\lambda(1-p))^k}{k!}=\frac{(\lambda p)^i}{i!e^\lambda}\cdot e^{\lambda(1-p)}=\frac{(\lambda p)^i}{i!e^{\lambda p}}.$