Complementi di Matematica – Esercitazione 2/2/2023

Chiusure, parti interne, frontiere, palle in $\mathbb{R}^n$

1. [Svolto 2/2] Che relazioni di contenimento esistono fra $\overline{A}\cap \overline{B}$ e $\overline{A \cap B}$, fra $\overline{A}\cup \overline{B}$ e $\overline{A \cup B}$, fra ${A}^\circ\cap {B}^\circ$ e $(A \cap B)^\circ$, fra ${A}^\circ\cup {B}^\circ$ e $(A \cup B)^\circ$? (Quando una relazione di contenimento non è vera in generale, fornire un controesempio.)
2. [Svolto 2/2] Che relazioni di contenimento esistono fra $A,\partial A, \partial\partial A, \partial\partial\partial A, \ldots$? (Quando una relazione di contenimento non è vera in generale, fornire un controesempio.)
3. [Svolto 2/2] Dimostrare che ogni aperto di $\mathbb{R}$ è un'unione disgiunta numerabile di intervalli aperti (i.e. intervalli della forma $(a,b)$, con $a\in \mathbb{R}\cup\{-\infty\}$ e $b>a$ in $\mathbb{R}\cup\{+\infty\}$).
4. [Svolto 2/2] È vero che ogni aperto di $\mathbb{R}^n$ è unione numerabile di palle aperte? È vero che ogni aperto di $\mathbb{R}^n$ è unione di palle aperte disgiunte?
5. [Svolto 9/2] Quali sono i sottoinsiemi di $\mathbb{R}$ che sono sia chiusi sia aperti? E quelli di $\mathbb{R}^n$?
6. Si può esprimere $(0,1)$ come unione numerabile di intervalli chiusi disgiunti?

Una digressione sulla dimensione di Minkowski

Dato un insieme $S$ limitato in $\mathbb{R}^n$ e dato $\epsilon>0$, definiamo $N_\epsilon(S)$ come il minimo $k\in\mathbb{N}$ tale che esistano $x_1,\ldots,x_k\in\mathbb{R}^n$ per cui $S\subseteq \bigcup_{i=1}^k B(x_i,\epsilon)$, i.e. il minimo numero di palle aperte di $\mathbb{R}^n$ sufficiente per coprire l'insieme $S$. Definiamo la dimensione di Minkowski superiore di $S$ come
$\displaystyle{\operatorname{\overline{dim}_M}(S)=\limsup_{\epsilon\to 0}\frac{\log(N_\epsilon(S))}{-\log(\epsilon)}};$
similmente si definisce la dimensione di Minkowski inferiore come il $\liminf$ corrispondente e, se le due coincidono, il loro valore è detto semplicemente dimensione di Minkowski e denotato con $\operatorname{dim_M}(S)$.

7. [Svolto 2/2] Mostrare che, per $S=[0,1]^d\times \{0\}^{n-d}$, con $d\leq n$, si ha $\operatorname{dim_M}(S)=d$.
8. [Svolto 2/2] Mostrare che, per $(S=[0,1]\cap\mathbb{Q})\times \{0\}^{n-1}$, si ha $\operatorname{dim_M}(S)=1$.
9. Mostrare le seguenti proprietà (enunciate per la dimensione superiore, ma valide anche per quella inferiore):

• $\operatorname{\overline{dim}_M}(S)=\operatorname{\overline{dim}_M}(\overline{S})$;
• se $A\subseteq B\subseteq \mathbb{R}^n$, $\operatorname{\overline{dim}_M}(A)\leq\operatorname{\overline{dim}_M}(B)$;
• $\operatorname{\overline{dim}_M}(A_1\cup A_2 \cup \ldots A_k)=\max_{1\leq i\leq k}\operatorname{\overline{dim}_M}(A_i)$ (cosa si può dire nel caso di un'unione numerabile?);
• Se $A$ è finito, allora $\operatorname{\overline{dim}_M}(A)=0$.

10. Dato $S\subset \mathbb{R}^n$ limitato ed $\epsilon>0$, definiamo le seguenti quantità:
$N^{box}_\epsilon(S)=\min\{k\mid \exists x_1,\ldots, x_k\in\mathbb{R}^n : S\subseteq \bigcup_{i=1}^k x_i+[-\epsilon/2,\epsilon/2]^n\}$
$N^{int}_\epsilon(S)=\min\{k\mid \exists x_1,\ldots, x_k\in S : S\subseteq \bigcup_{i=1}^k B(x_i,\epsilon)\}$
$N^{pack}_\epsilon(S)=\max\{k\mid \exists x_1,\ldots, x_k\in S : B(x_i,\epsilon)\mbox{ disgiunte}\}$
$N^{net}_\epsilon(S)=\max\{k\mid \exists x_1,\ldots, x_k\in S : |x_i-x_j|\geq\epsilon\mbox{ per }i\neq j\}$
Mostrare che la dimensione di Minkowski (superiore/inferiore) si può definire equivalentemente con qualunque di queste quantità al posto di $N_\epsilon(S)$.
11. Calcolare $\operatorname{dim_M}(\{\frac{1}{n}\mid n\in\mathbb{N}_+\})$.
12. Calcolare $\operatorname{dim_M}(C)$, dove $C\subset [0,1]$ è l'insieme di Cantor.
13. Produrre un esempio di insieme $S$ per il quale la dimensione di Minkowski superiore e quella inferiore non coincidono.
14. Calcolare $\operatorname{dim_M}(\{(x,\sin(1/x))\mid x\in (0,1]\})$.
15. Dimostrare che, se $f$ è una funzione reale $C^1$ su $[0,1]$, allora il suo grafico $\{(x,f(x))\mid x\in[0,1]\}\subset \mathbb{R}^2$ ha dimensione di Minkowski 1. Riuscite ad indebolire la condizione $C^1$? In particolare, lo statement è vero per una funzione continua?