Curve
71. Disegnare una rappresentazione approssimativa delle seguenti curve in e calcolarne la lunghezza in funzione del parametro
:
- (Astroide)
, per
;
- (Cardioide) l'insieme dei punti della forma
, dove
.
72. Dimostrare che la lunghezza dell'ellisse (con
,
) è
, con
.
73. Dati reali positivi, definiamo le due successioni
ponendo
,
,
. Mostrare che le due successioni tendono allo stesso limite finito e positivo, che chiameremo
.
74. Dimostrare che, dati reali positivi e detto
, vale
, con la notazione dell'esercizio precedente. Hint: con un cambio di coordinate, dimostrare che
.
75. Disegnare la Lemniscata di Bernoulli, cioè l'insieme dei punti del piano tali che
. Mostrare che si tratta di una curva la cui lunghezza totale è
.
Teorema della funzione implicita
☞ 76. Sia data da
. Sia
. Mostrare che
è in
e che esistono funzioni reali
tali che
in un intorno di
. Scrivere equazioni per la retta tangente a
in
.
77. Dato un sottoinsieme di
, dimostrare che le seguenti condizioni sono equivalenti:
- è localmente diffeomorfo a un aperto di ;
- è localmente il grafico di una funzione liscia che esprime delle coordinate in funzione delle altre
;
- è localmente la controimmagine di per una funzione da
a
il cui differenziale in
abbia rango
;
- è localmente l'immagine di una funzione liscia da in
il cui differenziale abbia rango massimo.
78. Sia una funzione
da
nelle matrici
, considerate come lo spazio euclideo
. Supponiamo che
sia un autovalore di
di molteplicità 1. Dimostrare che esistono
e una funzione
con
tali che
sia un autovalore di
di molteplicità 1 per
. Dimostrare che
, dove
è un autovettore di
relativo a
di norma Euclidea uguale a
.
79. Sia una funzione
da
in sé. Mostrare che localmente una fra
e
è funzione dell'altra (si può scrivere
o
in un appropriato intorno di
).
80. Sia un aperto di
contenente il punto
e sia
una funzione tale che
,
,
. Sia inoltre
. Dimostrare che, per un opportuno intorno
di
,
è l'unione di due grafici di funzioni
che si intersecano trasversalmente (i.e. che hanno tangenti non coincidenti in
). Di conseguenza,
non è localmente il grafico di una funzione in una variabile intorno a
.
Moltiplicatori di Lagrange
81. Siano funzioni reali
su un aperto
di
. Dato
, sia
e si supponga
per
. Mostrare che, se
è tale che
, allora esiste
tale che
.
82. Siano come nell'esercizio precedente, e assumiamo che
siano
. Sia
; mostrare che se
allora
, dove
è l'Hessiana di
in
.