Complementi di Matematica – Esercitazione del 28/3

Curve

71. Disegnare una rappresentazione approssimativa delle seguenti curve in $\mathbb{R}^2$ e calcolarne la lunghezza in funzione del parametro $a>0$:

• (Astroide) $t\mapsto (a\cos^3t, a\sin^3t)$, per $t\in[0,2\pi]$;
• (Cardioide) l'insieme dei punti della forma $(r\cos\phi,r\sin\phi)$, dove $r=2a(1-\cos\phi)$.

72. Dimostrare che la lunghezza dell'ellisse $\phi\mapsto (a\cos\phi, b\sin\phi)$ (con $a>b>0$, $\phi\in[0,2\pi]$) è $2\pi a(1-\sum_{i=1}^\infty\frac{((2i)!)^2h^{2i}}{(2^ii!)^4(2i-1)})$, con $h=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$.

73. Dati $a,b$ reali positivi, definiamo le due successioni $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}, (b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ponendo $a_0=a, b_0=b$, $a_{n+1}=(a_n+b_n)/2$, $b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}$. Mostrare che le due successioni tendono allo stesso limite finito e positivo, che chiameremo $M(a,b)$.

74. Dimostrare che, dati $a,b$ reali positivi e detto $I(a,b)=\int_0^{\pi/2}(a^2\cos^2\phi+b^2\sin^2\phi)^{-1/2}d\phi$, vale $I(a,b)=\frac{\pi}{2M(a,b)}$, con la notazione dell'esercizio precedente. Hint: con un cambio di coordinate, dimostrare che $I(a,b)=\int_0^\infty\frac{1}{\sqrt{(x^2+a^2)(x^2+b^2)}}dx$.

75. Disegnare la Lemniscata di Bernoulli, cioè l'insieme dei punti $(x,y)$ del piano tali che $(x^2+y^2)^2=x^2-y^2$. Mostrare che si tratta di una curva la cui lunghezza totale è $2\pi/M(1,\sqrt{2})$.

Teorema della funzione implicita

☞ 76. Sia $F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2$ data da $F(x,y,z)=(\sin x+\sin y+\sin z -1, \cos x+\cos y+\cos z -1)$. Sia $Z=\{(x,y,z)\mid F(x,y,z)=(0,0)\}$. Mostrare che $P=(0,5\pi/6,\pi/6)$ è in $Z$ e che esistono funzioni reali $f, g$ tali che $Z=\{(f(x),g(x))\mid x\in (-1,1)\}$ in un intorno di $P$. Scrivere equazioni per la retta tangente a $Z$ in $P$.

77. Dato un sottoinsieme $A$ di $\mathbb{R}^n$, dimostrare che le seguenti condizioni sono equivalenti:
- è localmente diffeomorfo a un aperto di $\mathbb{R}^p$;
- è localmente il grafico di una funzione liscia che esprime $n-p$ delle coordinate in funzione delle altre $p$;
- è localmente la controimmagine di $0$ per una funzione da $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{R}^{n-p}$ il cui differenziale in $0$ abbia rango $n-p$;
- è localmente l'immagine di una funzione liscia da $\mathbb{R}^p$ in $\mathbb{R}^n$ il cui differenziale abbia rango massimo.

78. Sia $t\mapsto A(t)$ una funzione $C^1$ da $\mathbb{R}$ nelle matrici simmetriche $n\times n$, considerate nello spazio euclideo $\mathbb{R}^{n^2}$. Supponiamo che $\lambda_0$ sia un autovalore di $A(0)$ di molteplicità 1. Dimostrare che esistono $\epsilon>0$ e una funzione $C^1$ $\lambda:[0,\epsilon)\to\mathbb{R}$ con $\lambda(0)=\lambda_0$ tali che $\lambda(t)$ sia un autovalore di $A(t)$ di molteplicità 1 per $t\in[0,\epsilon)$. Dimostrare che $\frac{d\lambda}{dt}(0)=x^TA'(0)x$, dove $x$ è un autovettore di $A(0)$ relativo a $\lambda_0$ di norma Euclidea uguale a $1$.

79. Sia $(x,y)\mapsto (f(x,y),g(x,y))$ una funzione $C^1$ da $\mathbb{R}^2$ in sé. Mostrare che localmente una fra $f$ e $g$ è funzione dell'altra (si può scrivere $f(x,y)=h(g(x,y))$ o $g(x,y)=h(f(x,y))$ in un appropriato intorno di $(x_0,y_0)$).

80. Sia $A$ un aperto di $\mathbb{R}^2$ contenente il punto $(x_0, y_0)$ e sia $F\in C^2(A)$ una funzione tale che $F(x_0,y_0)=0$, $\nabla F(x_0,y_0)=(0,0)$, $\operatorname{det}HF(x_0,y_0)<0$. Sia inoltre $Z=\{(x,y)\in A\mid F(x,y)=0\}$. Dimostrare che, per un opportuno intorno $U$ di $(x_0,y_0)$, $Z\cap U$ è l'unione di due grafici di funzioni $C^1$ che si intersecano trasversalmente (i.e. che hanno tangenti non coincidenti in $(x_0,y_0)$). Di conseguenza, $Z$ non è localmente il grafico di una funzione in una variabile intorno a $(x_0,y_0)$.

Moltiplicatori di Lagrange

81. Siano $f, \phi$ funzioni reali $C^1$ su un aperto $A$ di $\mathbb{R}^n$. Dato $a\in\mathbb{R}^n$, sia $E_a=\{x\in A\mid \phi(x)=a\}$ e si supponga $\nabla\phi(x)\neq 0$ per $x\in E_a$. Mostrare che, se $x_0\in E_a$ è tale che $f(x_0)=\min\{f(x)\mid x\in E_a\}$, allora esiste $\lambda\in\mathbb{R}$ tale che $\nabla f(x_0)+\lambda\nabla\phi(x_0)=0$.

82. Siano $f, \phi, A, x_0, \lambda$ come nell'esercizio precedente, e assumiamo che $f, \phi$ siano $C^2$. Sia $h(x)=f(x)+\lambda\phi(x)$; mostrare che se $v\cdot\nabla\phi(x_0)=0$ allora $v\cdot (Hh)v\geq 0$, dove $Hh$ è l'Hessiana di $h$ in $x_0$.

Ecco una traccia (in verità abbastanza dettagliata) di soluzione per gli ultimi due problemi, che non avevamo corretto per bene a esercitazione; notare che questa soluzione non è la più rapida che si possa produrre, ma è completamente elementare! Moltiplicatori di Lagrange