Problème 2. On considère la droite de $\mathbb{R}^2$ d'équation $x+y=0$ ; soit $f_S:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ l'application linéaire qui à chaque vecteur du plan associe son symétrique par rapport à cette droite.

• Déterminer la matrice $S$ associée à l'application $f_S$ par rapport à la base canonique de $\mathbb{R}^2$ (au départ et à l'arrivée).

Soit $e_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}, e_2=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$ la base canonique de $\mathbb{R}^2$. Les colonnes de la matrice $S$ sont les vecteurs $f_S(e_1),f_S(e_2)$ (exprimés dans la base canonique), donc on a simplement
$S=\begin{pmatrix} 0 & -1\\-1 & 0\end{pmatrix}$.

• Montrer que la matrice $S^2$ (c'est-à-dire le produit entre la matrice $S$ et elle même) est la matrice identité.

On a bien $\begin{pmatrix} 0 & -1\\-1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1\\-1 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0^2+(-1)^2 & 0\cdot (-1)-1\cdot 0\\-1\cdot 0+0\cdot -1 & (-1)^2+0^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}$.

• On considère la matrice $S-\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}$ ; quel est le noyau de l'application linéaire $g$ correspondante ? Quelle est son image ?

On a
$S-\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & -1\\-1 & 0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & -1\\-1 & -1\end{pmatrix}$
L'application linéaire $g$ correspondante a comme image l'espace engendré par les colonnes de cette matrice, c'est-à-dire la droite engendrée par $\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}$ (autrement dit, la droite $x=y$).
Le noyau de $g$ est l'ensemble des vecteurs $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ tels que $\begin{pmatrix} -1 & -1\\-1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$, c'est à dire tels que $-x-y=0$. Il s'agit donc de la droite $x+y=0$ par rapport à laquelle on avait pris les symétriques.

• Montrer que tout vecteur de $\ker g$ est orthogonale à tout vecteur de l'image de $g$.

Un vecteur de $\ker g$ est de la forme $\begin{pmatrix}\lambda\\-\lambda\end{pmatrix}$ et un vecteur de l'image de $g$ de la forme $\begin{pmatrix}\mu\\\mu\end{pmatrix}$. Leur produit scalaire est $\lambda\mu-\lambda\mu=0$.

• Déterminer la matrice associée à $f_S$ par rapport à la base $\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$ (au départ et à l'arrivée).

Les colonnes de la matrices sont les images des vecteurs donnés, exprimées en coordonnées par rapport à la base $\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$, que l'on va appeler $v_1,v_2$.
On a $f_S(v_1)=S\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}=-v_1$; les coordonnées de $-v_1$ par rapport à la base $v_1,v_2$ sont $-1,0$, donc la première colonne de la matrice sera $\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}$. On a $f_S(v_2)=Sv_2=v_2$, qui a coordonnées $0,1$. La matrice cherchée est donc $\begin{pmatrix}-1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}$.

On sait que l'application linéaire $r_\theta:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ qui à chaque vecteur du plan associe son image par une rotation d'un angle $\theta$ autour de l'origine est représentée par la matrice $M_\theta=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\\sin\theta &\cos\theta \end{pmatrix}$ (par rapport à la base canonique).

• Montrer que pour tout $\theta$ et tout $v\in\mathbb{R}^2$ le vecteur $M_\theta v$ a la même norme que le vecteur $v$.

Soit $v=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$, alors $M_\theta v=\begin{pmatrix}x\cos\theta-y\sin\theta\\x\sin\theta+y\cos\theta\end{pmatrix}$; la norme de $M_\theta v$ est la racine carrée de $(x\cos\theta-y\sin\theta)^2+(x\sin\theta+y\cos\theta)^2=(\cos^2\theta+\sin^2\theta)(x^2+y^2)$. Comme pour tout $\theta$ $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$, la norme de $M_\theta v$ est $\sqrt{x^2+y^2}$, c'est-à-dire la norme de $v$.

• Montrer que pour tout $\theta$ on a $SM_\theta S=M_{-\theta}$.

Remarquez que ça revient à dire que symétriser par rapport à la droite $x+y=0$, faire une rotation de $\theta$ et puis symétriser encore une fois donne le même résultat que faire seulement une rotation de $\theta$ dans le sens inverse, ce qui se voit bien géométriquement.

On peut aussi faire le calcul: on a
$SM_\theta S=\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\\sin\theta &\cos\theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sin\theta&-\cos\theta\\-cos\theta&-\sin\theta\end{pmatrix}=$
$=\begin{pmatrix}\cos\theta & \sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos(-\theta) & -\sin(-\theta)\\\sin(-\theta)&\cos(-\theta)\end{pmatrix}=M_{-\theta}$.

• Montrer que pour tout $\theta$ on a $(SM_\theta)^2=\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}$.

On a montré que $SM_\theta S=M_{-\theta}$, donc $(SM_\theta)^2=SM_\theta\cdot SM_\theta=(SM_\theta S)M_\theta=M_{-\theta}M_\theta=\operatorname{Id}$.
La dernière égalité est claire du point de vue des applications linéaire correspondantes, qui sont l'une l'inverse de l'autre, mais peut aussi être montrée en faisant les calcul du produit matriciel.

Problème 1. Soient $V$ et $W$ les espaces vectoriels suivants :
$V=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^4\mbox{ t.q. } x-y+2z=w\right\}$
$W=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^4\mbox{ t.q. } x+2y+w=0 \mbox{ et } x-y-z+w=0 \right\}$

• Quelle est la dimension de $V$ ?

L'espace $V$ est défini comme sous-espace de $\mathbb{R}^4$ par une seule équation, donc sa dimension est $4-1=3$.

• Exprimer $W$ comme le noyau d'une application linéaire entre $\mathbb{R}^4$ et $\mathbb{R}^2$. En déduire la dimension de $W$.

L'espace $W$ est le noyau de l'application linéaire $f_W:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^2$ représentée (par rapport aux bases canoniques de $\mathbb{R}^4$ et $\mathbb{R}^2$) par la matrice
$M_W=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 & 1\\1 & -1 & -1 & 1\end{pmatrix}$.
On a $4=\operatorname{dim}\mathbb{R}^4=\operatorname{dim}\ker f_W+\operatorname{dim}\operatorname{Im}f_W$ ; l'image de $f_W$, qui est engendrée par les colonnes de la matrice $M_W$, est incluse dans $\mathbb{R}^2$ et contient deux vecteurs non-colinéaires (par exemple les deux premières colonnes de la matrice $M_W$) donc a dimension 2.
Finalement, $\operatorname{dim}W=\operatorname{dim}\ker f_W=4-2=2$.

On considère les familles de vecteurs suivantes :
$v_1=\begin{pmatrix}1\\3\\2\\2\end{pmatrix},v_2=\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix},v_3=\begin{pmatrix}0\\0\\1\\2\end{pmatrix}$
$w_1=\begin{pmatrix}-1\\-1\\3\\3\end{pmatrix},w_2=\begin{pmatrix}1\\-1\\3\\1\end{pmatrix}$

• Montrer que $v_1,v_2,v_3$ est une base de $V$, et que $w_1, w_2$ est une base de $W$.

Les vecteurs $v_1,v_2,v_3$ sont trois vecteurs libres ($av_1+bv_2+cv_3=0\Leftrightarrow a=b=c=0$) de $V$ (car leur coordonnées satisfont à l'équation $x-y+2z=w$). La dimension de $V$ est trois, donc $v_1,v_2,v_3$ est une base de $V$.
De même pour $w_1,w_2$. Je ne vais pas écrire plus de détails, parce que essentiellement tout le monde a réussi cette question. Bravo !

• Existe-t-il une application linéaire de $V$ vers $W$ dont le noyau est $\{0\}$ ?

Non ! Une application linéaire $f$ de $V$ vers $W$ est toujours telle que $\dim V=\dim \ker f+\dim \operatorname{Im}f$. Par contre, on sait que $\operatorname{Im}f\subseteq W$, donc $\dim \operatorname{Im}f\leq 2$, dont on obtient $\dim\ker f\geq 3-2=1$ ; la dimension du noyau de $f$ est au moins 1, donc le noyau ne peut dans aucun cas être $\{0\}$.

• Montrer qu'il existe une unique application linéaire $f: V \to W$ telle que
  $f(v_1)=\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix}, \; f(v_2)=\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 6 \\ 4\end{pmatrix}, \; f(v_3)=\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ -6 \\ 0\end{pmatrix}$

Existence et unicité sont une conséquence du fait que $v_1,v_2,v_3$ forment une base de $V$, et que les vecteurs $\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 6 \\ 4\end{pmatrix},\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ -6 \\ 0\end{pmatrix}$ appartiennent à $W$.

• Quelle est la matrice associée à $f$ par rapport aux bases $v_1,v_2,v_3$ et $w_1,w_2$?

Les colonnes de $M$ contiennent les coordonnées des vecteurs $f(v_1), f(v_2), f(v_3)$ par rapport à la base $w_1, w_2$. En faisant les calculs, on obtient
$M=\begin{pmatrix}1 & 1&1\\-1&1&-3\end{pmatrix}$.

• Calculer $f\begin{pmatrix}0\\2\\3\\4\end{pmatrix}$ (exprimer le résultat comme un vecteur de $\mathbb{R}^4$).

On a $\begin{pmatrix}0\\2\\3\\4\end{pmatrix}=v_1-v_2+v_3$, donc $f\begin{pmatrix}0\\2\\3\\4\end{pmatrix}=f(v_1)-f(v_2)+f(v_3)=\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 6 \\ 4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ -6 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -6 \\ 4 \\ -12 \\ -2\end{pmatrix}$.

On pourrait aussi calculer $M\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$ (où $\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$ est le vecteur des coordonnées de $f\begin{pmatrix}0\\2\\3\\4\end{pmatrix}$ par rapport à la base $v_1,v_2,v_3$), ce qui nous donne le vecteur $\begin{pmatrix}1\\-5\end{pmatrix}$. On a donc $f\begin{pmatrix}0\\2\\3\\4\end{pmatrix}=w_1-5w_2=\begin{pmatrix} -6 \\ 4 \\ -12 \\ -2\end{pmatrix}$.

• Quelle est la dimension de $\operatorname{Im}f$ ? En déduire la dimension de $\ker f$.

On sait que $\operatorname{Im}f=\operatorname{Vect}(f(v_1),f(v_2),f(v_3))$ ; on sait aussi que $\dim\operatorname{Im}f\leq \dim W=2$. Comme les vecteurs $f(v_1),f(v_2)$ ne sont pas colinéaires, on déduit que $\dim\operatorname{Im}f=2$.

Par conséquence, on a $\dim\ker f=\dim V-\dim\operatorname{Im}f=3-2=1$.

• Déterminer une base de $\ker f$ (on exprimera les éléments de cette base comme vecteurs de $\mathbb{R}^4$).

On a que $Mv=0$ pour un vecteur $v=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ si et seulement si $a+b+c=0$ et $-a+b-3c=0$, c'est-à-dire pour les vecteurs $v$ de la forme $\begin{pmatrix}-2b\\b\\b\end{pmatrix}$.
Les vecteurs du noyau de $f$ sont donc ceux qui s'écrivent sous la forme $-2bv_1+bv_2+bv_3$ ; en posant $b=1$ on trouve que le vecteur $-2v_1+v_2+v_3=\begin{pmatrix}-1\\-5\\-3\\-2\end{pmatrix}$ forme une base de $\ker f$.

Comme vous avez peut-être remarqué, j'ai rajouté des symboles à côté de chaque exercice sur cette page ; notamment, chaque exo est décoré par une liste de symboles parmi les suivants :
♠︎ = matrices/applications linéaires
♣︎ = espaces vectoriels
♥︎ = nombres complexes
♦︎ = coordonnées cartesiennes
✍ = corrigé en cours/TD
❄︎ = unité de "difficulté"
☕︎ = exercice abstrait

Vous pouvez choisir vous mêmes les exos à me rendre parmi ceux des feuilles de TD et les questions de cours, selon les règles suivantes :

• vous devez collecter au moins 1x♠︎, 1x♣︎, 1x♥︎, 1x♦︎, 1x☕︎
• vous devez totaliser au moins 8x❄︎
• vous ne pouvez pas inclure plus que 3 exos qui contiennent le symbol ✍.

Voici les symboles à associer aux exos des feuilles de TD :

Applications linéaires, noyau, image
P1 ♠︎❄︎✍
P2 ♠︎❄︎✍
P3 ♠︎❄︎☕︎✍
P4 ♠︎❄︎☕︎✍
P5 ♠︎❄︎❄︎☕︎✍
P6 ♠︎❄︎❄︎✍
P7 ♠︎❄︎☕︎✍

Espaces vectoriels réels (Feuille 3)
P1 ♣︎❄︎☕︎✍
P2 ♣︎❄︎✍
P3 ♣︎❄︎✍
P4 ♣︎❄︎✍
P5 ♣︎❄︎☕︎✍
P6 ♣︎❄︎✍
P7 je ne vais pas accepter cet exo, car il y a un corrigé en ligne

Nombres complexes (Feuille 2)
P1 ♥︎❄︎✍
P2 ♥︎❄︎✍
P3 ♥︎❄︎✍
P4 ♥︎❄︎✍
P5 ♥︎❄︎✍
P6 ♥︎❄︎✍
P7 ♥︎❄︎❄︎❄︎✍
P8 ♥︎❄︎❄︎✍
P9 ♥︎❄︎❄︎❄︎❄︎❄︎☕︎☕︎
P10 ♥︎❄︎❄︎❄︎❄︎❄︎☕︎
Remarquez que, en rédigeant le P9 ou le P10, vous allez totaliser une bonne moitié des ❄︎ demandés : il s'agit de deux problèmes qui ne sont pas évidents, et que je n'ai pas eu le temps de corriger. Si vous avez envie d'essayer de les faire, ça va être bien apprecié !

Coordonnées Cartesiennes (Feuille 1)
P1 ♦︎❄︎❄︎
P2 ♦︎❄︎❄︎✍
P3 ♦︎❄︎❄︎✍
P4 ♦︎❄︎✍
P5 ♦︎❄︎☕︎✍
P6 je ne vais pas accepter cet exo, car il y a un corrigé en ligne

Si vous rédigez plus d'exos que la quantité demandée, cela sera pris en compte. Voici un fichier avec un exemple de sujet de DM qui respecte les règles que j'ai posé.
Exemple de DM

Applications linéaires et matrices

QUESTIONS :

[♠︎❄︎] Pour chaque couple (matrice $M$, vecteur $v$) dire si le produit matrice par vecteur $Mv$ a un sens et, dans ce cas, le calculer.

• $M=\begin{pmatrix} 11 & -3 \\ 7 & 13 \end{pmatrix}$, $v=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$
• $M=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}$, $v=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$
• $M=\begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ -9 & 7 & -1 \end{pmatrix}$, $v=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}$
• $M=\begin{pmatrix} 2 & -9 \\ 0 & 7 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$, $v=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}$
• $M=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 7 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $v=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

[♠︎❄︎] Pour chaque couple de matrices $(M_1, M_2)$ dire si le produit matriciel $M_1M_2$ a un sens et, dans ce cas, le calculer.

• $M_1=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}$, $M_2=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$
• $M_1=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$, $M_2=\begin{pmatrix} -5 & 4 & 2\\ -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}$
• $M_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$, $M_2=\begin{pmatrix} 2 & -3 & 1\\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$
• $M_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $M_2=\begin{pmatrix} 13 & -3 & 5\\ -3 & 7 & 4 \\ 11 & -3 & 2 \end{pmatrix}$ (que remarquez-vous ? Auriez-vous pu prédire le résultat ?)
• $M_1=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$, $M_2=\begin{pmatrix} -1 & -2\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
• $M_1=\begin{pmatrix} -1 & -2\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $M_2=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ (que remarquez-vous par rapport à la question précédente ?)

[♠︎❄︎] Pour chacune des matrices $M$ suivantes, soit $f$ l'unique application linéaire de $\mathbb{R}^m$ vers $\mathbb{R}^n$ représentée par $M$ (dans les bases canoniques). Dans chaque cas, préciser $m$ et $n$, et calculer $\dim \ker f$ et $\dim \operatorname{Im} f$. Quand $\ker f$ est non trivial, en déterminer une base.

• $M=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$
• $M=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & -1 \end{pmatrix}$
• $M=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 5 & 7 & 9 \end{pmatrix}$
• $M=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}$
• $M=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 3 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
• $M=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 4 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$

 

Applications linéaires, noyau, image

QUESTIONS :

[♠︎❄︎❄︎☕︎] Dire si les fonctions suivantes sont linéaires ou pas, et justifier sa réponse

• $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2$: $f\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x+y+z\\2x\end{pmatrix}$
• $f:\mathbb{R}[x]\to\mathbb{R}$: $f(p(x))=p(0)$
• $f:\mathbb{R}[x]\to\mathbb{R}$: $f(p(x))=p(2)$
• $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$: $f(v)=|v|\ v$
• $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2$: $f(t)=(t,t^2)$
• $f:\mathbb{R}[x]\to\mathbb{R}[x]$: $f(p(x))=3p(x)+5p(0)$
• (*) $f:\mathbb{R}[x]\to\mathbb{R}[x]$: $f(p(x))=p(x+1)-p(x)$

[♠︎❄︎❄︎] Dire s'il existe  une application linéaire $f$ de $V$ dans $W$ telle que $f(v_i)=w_i$ dans les cas suivants ; quand une telle $f$ existe, préciser si elle est unique :

• $V=\operatorname{Vect}(v_1,v_2), W=\mathbb{R}^2$
  $v_1=\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}, v_2=\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}$, $w_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},w_2=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$

• $V=\mathbb{R}^3, W=\mathbb{R}^2$
  $v_1=\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}, v_2=\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}, v_3=\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}, w_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},w_2=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix},w_3=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}$

• $V=\mathbb{R}^2, W=\mathbb{R}^3$
  $v_1=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}, v_2=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}, v_3=\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}, w_1=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix},w_2=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix},w_3=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$

• $V=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} : x+y+z=0\right\}, W =\mathbb{R}^4$
  $v_1=\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}, v_2=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}, w_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix} ,w_2=\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}$

[♠︎❄︎❄︎☕︎] Pour chacune des applications linéaires suivantes, déterminer la dimension du noyau et la dimension de l'image :

• $f:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3 : f((x,y,z,w))=(x+y,x-y,z+w)$
• $f:\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mbox{ t.q. }x-y-2z=0\right\}\to\mathbb{R}^2 : f((x,y,z))=(x-y,2z)$
• $f:\{ax^3+bx^2+cx+d\mbox{ t.q. }a,b,c,d\in\mathbb{R}\}\to\mathbb{R}[x] : f(p(x))=p'(x)$
• $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 : f((x,y))=(x+y,x+y,x+y)$
• $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^3 : f(t)=(3t,t,-t)$

Problème 7. On considère les vecteurs
$v_1=\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, v_2=\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, w_1=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, w_2=\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}.$
Soient $V=\operatorname{Vect}(v_1,v_2)$ et $W=\operatorname{Vect}(w_1,w_2)$. Déterminer une base de $V \cap W$. Quelle est la dimension de l'espace engendré par $V$ et $W$ ?

Un vecteur de $\mathbb{R}^3$ appartient à $V\cap W$ si et seulement si il est à la fois une combinaison linéaire de $v_1,v_2$ et une combinaison linéaire de $w_1,w_2$, c'est-à-dire $u\in V\cap W$ si et seulement s'il existe $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ tels que

$u=av_1+bv_2=cw_1+dw_2.$

On cherche donc $a,b,c,d$ tels que

$\begin{cases}b=c+2d\\a-b=c-d\\2a+b=-d\end{cases}.$

En utilisant la première equation et la deuxième, on obtient $a=2c+d$, d'où (3ème equation) $4c+2d+c+2d=-d$, et donc $c=-d$. On a ainsi $a=-d$, $b=d$, $c=-d$, et donc finalement les vecteurs dans $V\cap W$ sont tous de la forme

$-dv_1+dv_2=-dw_1+dw_2=d\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix},$

pour $d\in\mathbb{R}$. L'espace $V\cap W$ est donc la droite engendrée par le vecteur $\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}$ (qui est bien une base de la droite elle-même).

Comme on a montré que $\operatorname{dim}V\cap W=1$, la formule de Grassmann nous assure que

$\operatorname{dim}V+V=\operatorname{dim}V+\operatorname{dim}W-\operatorname{dim}V\cap W=2+2-1=3$,

donc que l'espace engendré par $V$ et $W$ est bien $\mathbb{R}^3$.

QUESTIONS :

• [♣︎❄︎❄︎] Déterminer des equations pour chacun des espaces suivants ; pour chacun, exhiber une base et calculer sa dimension.
  $E_1=\operatorname{Vect}\left(\begin{pmatrix}1\\2\\-4\\3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\0\\3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\-2\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\-1\\2\\6\end{pmatrix}\right)$
  $E_2=\operatorname{Vect}\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}\right)$
  $E_3=\operatorname{Vect}\left(\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\-3\\3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1\\-2\\2\\7\end{pmatrix}\right)$
• [♣︎❄︎] Montrer que la famille
  $v_1=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\\-1\end{pmatrix},v_2=\begin{pmatrix}2\\0\\-1\\3\end{pmatrix},v_3=\begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\end{pmatrix}$
  est libre ; montrer que les vecteurs
  $\begin{pmatrix}3\\0\\1\\2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1\\-2\\6\\-9\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}$
  appartiennent à l'espace $\operatorname{Vect}(v_1,v_2,v_3)$ et déterminer les coordonnées de chacun par rapport à la base $\{v_1,v_2,v_3\}$.

• [♣︎❄︎] Exhiber une base de $\mathbb{R}^5$ qui contient les vecteurs
  $w_1=\begin{pmatrix}3\\0\\1\\-1\\2\end{pmatrix},w_2=\begin{pmatrix}2\\4\\1\\1\\5\end{pmatrix}.$
  Déterminer des équation pour l'espace $\operatorname{Vect}(w_1,w_2)$. Quelle est sa dimension ?
• [♣︎❄︎❄︎] Pour chacun des systèmes linéaires homogènes suivants, déterminer une base de l'espace des solutions :
  $\begin{cases}3x+y-z=0\\x+z=0\end{cases}$ (sous-espace de $\mathbb{R}^3$)
  $\begin{cases}x-z+w=0\\x-y+z=0\end{cases}$ (sous-espace de $\mathbb{R}^4$)
  $x+5y+z+2w=0$ (sous-espace de $\mathbb{R}^4$)

Cette semaine on a parlé de

• espaces vectoriels réels, definitions et exemples
• sous-espaces vectoriels
• combinaison linéaires, le (sous)-espace engendré par un ensemble de vecteurs

QUESTIONS :

[♣︎❄︎❄︎☕︎] On considère l'espace vectoriel (réel) $\mathbb{R}[x]$ des polynômes à coefficients réels, avec les operations usuelles de somme et multiplication par scalaires. Dire si les sous-ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels ;

• les polynômes de $\mathbb{R}[x]$ qui admettent 0 comme racine ;
• les polynômes de la forme $ax^3+bx^2+cx+d$, avec $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ ;
• les polynômes de la forme $ax^3+bx^2+cx+d$, avec $a,b,c,d\in\mathbb{R}$, tels que le produit de leur racines est égal à 7 ;
• le polynômes de degré égal à 3 ;
• les polynômes de $\mathbb{R}[x]$ ayant 0 pour somme de leurs coefficients.

[♣︎❄︎❄︎☕︎] On considère l'espace $\mathbb{R}^3$, avec sa structure usuelle d'espace vectoriel réel. Dire si les ensembles suivants sont des sous-espaces de $\mathbb{R}^3$ ; si c'est le cas, donner une partie génératrice (c'est-à-dire exprimer le sous-espace comme $\operatorname{Vect}(v_1,\ldots, v_n)$ pour des vecteurs $v_1,\ldots,v_n$ de $\mathbb{R}^3$ :

• l'ensemble des vecteurs $(x,y,z)$ tels que $x+3y+z=0$ ;
• l'ensemble des vecteurs $(x,y,z)$ tels que $x^2+y^2+z^2=0$ ;
• l'ensemble des vecteurs de la forme $(x,y,1)$, avec $x,y\in\mathbb{R}$ ;
• l'ensemble des vecteurs de la forme $(t,s+t,s-t)$, avec $s,t\in\mathbb{R}$ ;
• l'ensemble des vecteurs de la forme $(2t,s-t+1,s)$, avec $s,t\in\mathbb{R}$ ;
• l'ensemble des vecteurs de la forme $(2a,2b,2c)$, avec $a,b,c\in\mathbb{Z}$ ;
• l'ensemble des vecteurs orthogonaux au vecteur $(1,7,-2)$.

On considère les points $A$, $B$, $C$ de coordonnées $(0,0)$, $(35,-14\sqrt{6})$ et $(24\sqrt{6},60)$. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle. Soit $H$ le pied de la hauteur issue du point $A$ ; sans calculer les coordonnées de $H$, déterminer les longueurs des segments $BH$, $CH$ et $AH$ (on pourra inverser la relation $2\operatorname{Aire}=b\cdot h$ pour l'aire d'un triangle). Vérifier la relation $BH\cdot CH=AH^2$ (théorème d'Euclide).

1 - Le triangle ABC est rectangle

Je vais montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, c'est-à-dire que les vecteurs $\vec{B}=(35,-14\sqrt{6})$ et $\vec{C}=(24\sqrt{6},60)$ sont orthogonaux.

Cela revient à vérifier que le produit scalaire $\vec{B}\cdot \vec{C}$ est nul, et en effet
$\vec{B}\cdot \vec{C}=35\cdot 24\sqrt{6}-14\sqrt{6}\cdot 60=7\cdot 5\cdot 6\cdot 4\cdot\sqrt{6}-7\cdot 2\cdot 6\cdot 5\cdot 2\cdot \sqrt{6}=0.$

Remarques : une autre manière de montrer qu'un triangle est rectangle est de vérifier la relation du théorème de Pythagore, c'est-à-dire dans notre cas le fait que $BC^2=AB^2+AC^2$ ; ça comporte plus de calculs, mais comme on aura besoin des longueurs des trois côtés plus tard, ce n'est pas forcément une mauvaise idée de les calculer au tout début de l'exo.

2 - Les projections BH et CH comme fonctions des côtés du triangle

Les segments $BH$ et $CH$ sont les projections des segments $AB$ et $AC$ le long de $BC$. Étant donné un vecteur $v$ parallèle à $BC$, on peut donc calculer leur longueurs comme $BH=\frac{|\vec{B}\cdot v|}{|v|}$ et $AH=\frac{|\vec{A} \cdot v|}{|v|}$.

Le vecteur $\vec{B}-\vec{C}$ est bien parallèle au côté $BC$ du triangle, ce qui implique par exemple $BH=\frac{|\vec{B}\cdot (\vec{B}-\vec{C})|}{BC}.$
Mais $\vec{B}\cdot (\vec{B}-\vec{C})=\vec{B}\cdot\vec{B}-\vec{B}\cdot\vec{C}$ ; de plus, on a déjà montré que $\vec{B}\cdot\vec{C}=0$ (les deux sont orthogonaux) et on sait que $\vec{B}\cdot\vec{B}=|\vec{B}|^2={AB}^2$ (le produit scalaire entre un vecteur et soi-même, comme l'angle est nul, est la norme au carré).

On a donc $BH=AB^2/BC$.

De même, $CH=\frac{|\vec{C}\cdot (\vec{B}-\vec{C})|}{BC}=\frac{|\vec{C}\cdot\vec{B}-\vec{C}\cdot\vec{C}|}{BC}=\frac{AC^2}{BC}$.

Remarques : comme on sait qu'on va devoir calculer la longueur de $AH$, on pourrait aussi utiliser le théorème de Pythagore pour exprimer $BH$ et $CH$ comme $\sqrt{AB^2-AH^2}$ et $\sqrt{AC^2-AH^2}$. Je vous donne une solution qui utilise les produits scalaire pour que vous vous habituez à les utiliser dans le calcul de la longueur d'une projection. Il est important de comprendre le raisonnement qui est ci-dessus.

3 - Une expression pour $AH$ et l'identité d'Euclide

En même temps, on peut calculer $AH$ grâce aux deux expressions pour l'aire du triangle, qui vaut $\frac{AB\cdot AC}{2}$ aussi bien que $\frac{BC\cdot AH}{2}$ ; on a donc l'identité $AB\cdot AC=BC\cdot CH$, et finalement $CH=\frac{AB\cdot AC}{BC}$.

Remarquez qu'avec ça on a l'identité cherchée, même sans faire les calculs !

En effet, on a trouvé $BH \cdot CH=\frac{AB^2\cdot AC^2}{BC^2}=CH^2$.

4 - Calculs

Pour trouver les valeurs des longueurs, il suffit de faire des petits calculs : on a

$AB^2=35^2+(14\sqrt{6})^2=7^2\cdot (25+24)=7^4$
$AC^2=(24\sqrt{6})^2+(60)^2=12^2\cdot (24+25)=12^2\cdot7^2$
$BC^2=7^4+12^2\cdot 7^2=7^2(12^2+7^2)=7^2\cdot 193$

Finalement, on trouve
$BH=AB^2/BC=7^3/\sqrt{193}$
$CH=AC^2/BC=12^2\cdot 7/\sqrt{193}$
$AH=7^2\cdot 12/\sqrt{193}$

Remarques : oui, je me suis trompée : j'avais l'intention de créer un calcul un peu plus joli. Mais une racine de quelque chose ne doit pas vous gêner ! Quand vous avez un calcul à faire, substituez les valeurs numériques aussi tard que possible : les parties 2 et 3 de cet exo sont bien plus simples à écrire, et bien plus intéressantes, sans des nombre compliqués qui peuvent nous distraire de ce que nous sommes en train de faire. Quand on arrive au calcul lui-même, il est mieux de factoriser ce qu'il y a sous les racines et de sortir les carrés, sans utiliser la calculette ; vous pouvez tout simplement laisser la racine dans le résultat !