Induzione transfinita. Data una proprietà $P$, se per ogni ordinale $\alpha$ si ha

se per ogni ordinale $\beta<\alpha$ vale $P(\beta)$ allora vale $P(\alpha)$

allora la proprietà $P$ vale per tutti gli ordinali.

Esercizi

• Costruire una base di $\mathbb{R}$ su $\mathbb{Q}$ per induzione transfinita.
• Dimostrare che esiste un insieme $S$ di punti del piano $\mathbb{R}^2$ tali che ogni retta nel piano contenga esattamente due punti di $S$.
• Dimostrare che esiste una funzione $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ che non sia monotona su nessun sottoinsieme di $\mathbb{R}$ della cardinalità del continuo.
• Dimostrare che ogni funzione da $\mathbb{R}$ in $\mathbb{R}$ si scrive come somma di due bigezioni da $\mathbb{R}$ in $\mathbb{R}$.

Equazioni differenziali

83. Per ogni punto $(x,y)$ del piano con $x, y>0$ passa un’unica ellisse $4x^2+y^2=a$ (con $a>0$). Descrivere la famiglia di curve che in ogni punto sono ortogonali all’ellisse passante per quel punto.

84. Sia $I$ un intervallo aperto. Sia $F:I\times \mathbb{R}\to(0,\infty)$ una funzione continua positiva, e sia $f:I\to\mathbb{R}$ una funzione differenziabile che risolve l’equazione differenziale $(f'(x))^2=F(x,f(x))$: mostrare che o $x$ è sempre crescente, nel qual caso si ha $f'(x)=\sqrt{F(x,f(x))}$ per ogni $x$, oppure è sempre decrescente, nel qual caso si ha $f'(x)=-\sqrt{F(x,f(x))}$; dunque $f$ è di classe $C^1$.

85. Descrivete tutte le funzioni $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ differenziabili che risolvono $(f'(x))^2+f(x)^2=1$; mostrare che sono $C^1$ e in effetti $C^\infty$ a tratti.

86. Sia $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ una funzione $C^2$ tale che $f(0)=f(1)=0$ e $f'(x)=f(x)f''(x)$ per ogni $x\in [0,1]$. Si provi che la funzione $f$ è identicamente nulla.

87. Determinare la soluzione generale dell’equazione differenziale
$u'(t)=\frac{t^2+3u(t)^2}{2tu(t)}.$

88. Discutere le soluzioni di
$\left\{\begin{array}{l}y'(x)=(y(x)-x)^3\\y(0)=a\end{array}\right.$
studiandone in modo qualitativo l’esistenza (locale o globale) delle soluzioni, le proprietà di monotonia e convessità/concavità.

89. Per il problema di Cauchy
$\left\{\begin{array}{l}y'(x)=\frac{1}{y(x)^2+x^2}\\y(0)=1\end{array}\right.$
mostrate che esiste unica la soluzione globale $y:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, e che $y$ è limitata e esistono finiti i limiti $\lim_{x\to\infty}y(x)$ e $\lim_{x\to-\infty}y(x)$.

90.Discutete l’equazione differenziale
$\left\{\begin{array}{l}y'(x)=\frac{1}{y(x)-x^2}\\y(0)=a\end{array}\right.$
per $a\neq 0$, studiando in modo qualitativo l’esistenza (locale o globale) delle soluzioni, le proprietà di monotonia e convessità/concavità. Mostrate che la soluzione esiste per tutti i tempi positivi, ma che per $a>0$ non si estende a tutti i tempi negativi. Mostrate che esiste un $\tilde{a}<0$ critico tale che, per $\tilde{a}<a<0$ la soluzione non si estende a tutti i tempi negativi, mentre per $a\leq \tilde{a}$ la soluzione esiste per tutti i tempi negativi; inoltre per $a=\tilde{a}$ si ha $\lim_{x\to -\infty}y(x)-x^2=0$.

91. Consideriamo l’equazione differenziale $u'(t)=a(t)u(t)^2$, dove $a:\mathbb{R}\to [0,\infty)$ è una funzione continua. Dimostare che tutte le soluzioni con $u(0)>0$ esplodono in tempo finito se e solo se $\int_0^{\infty}a(t)dt=\infty$. L'ipotesi che $a\geq 0$ è davvero necessaria?

92. Si consideri il problema di Cauchy $u'(t)=f(u(t))$, $u(0)=\alpha>0$, dove $f:(0,\infty)\to (0,\infty)$ è una funzione continua. Dimostrare che c'è esistenza globale (nel futuro) se e solo se $\int_{\alpha}^\infty\frac{1}{f(x)}dx=+\infty$,

93. Consideriamo l’equazione differenziale $u''(t)-7u(t)=f(t)$. Dimostrare che, se $f(t)$ è una funzione continua e limitata, allora l’equazione ammette esattamente una soluzione limitata su tutta la retta.

Consideriamo l’equazione differenziale $u''(t)+7u(t)=f(t)$. Dimostrare che esiste una funzione $f(t)$ continua e limitata e tale che l’equazione non ammette nessuna soluzione limitata su tutta la retta.

94. Consideriamo l’equazione differenziale
$u'(t)+a(t)u(t)=f(t)$,
dove $a$ è un parametro reale ed $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ è una funzione continua.

• Dimostrare che, se $a\neq 0$ e $f(t)$ è limitata allora l’equazione ammette sempre esattamente una soluzione limitata su tutta la retta.
• Dimostrare che, se $a = 0$, allora le soluzioni sono tutte limitate o tutte illimitate, ed entrambi i casi si possono realizzare per opportune scelte di $f(t)$.
• Dimostrare che, qualunque sia il valore di $a$, se $f(t)$ è periodica allora l’equazione ammette esattamente una soluzione periodica.

95. Determinare la soluzione generale dell’equazione differenziale
$u'(t)=\frac{u(t)}{t+u(t)^2}.$

Curve

71. Disegnare una rappresentazione approssimativa delle seguenti curve in $\mathbb{R}^2$ e calcolarne la lunghezza in funzione del parametro $a>0$:

• (Astroide) $t\mapsto (a\cos^3t, a\sin^3t)$, per $t\in[0,2\pi]$;
• (Cardioide) l'insieme dei punti della forma $(r\cos\phi,r\sin\phi)$, dove $r=2a(1-\cos\phi)$.

72. Dimostrare che la lunghezza dell'ellisse $\phi\mapsto (a\cos\phi, b\sin\phi)$ (con $a>b>0$, $\phi\in[0,2\pi]$) è $2\pi a(1-\sum_{i=1}^\infty\frac{((2i)!)^2h^{2i}}{(2^ii!)^4(2i-1)})$, con $h=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$.

73. Dati $a,b$ reali positivi, definiamo le due successioni $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}, (b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ponendo $a_0=a, b_0=b$, $a_{n+1}=(a_n+b_n)/2$, $b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}$. Mostrare che le due successioni tendono allo stesso limite finito e positivo, che chiameremo $M(a,b)$.

74. Dimostrare che, dati $a,b$ reali positivi e detto $I(a,b)=\int_0^{\pi/2}(a^2\cos^2\phi+b^2\sin^2\phi)^{-1/2}d\phi$, vale $I(a,b)=\frac{\pi}{2M(a,b)}$, con la notazione dell'esercizio precedente. Hint: con un cambio di coordinate, dimostrare che $I(a,b)=\int_0^\infty\frac{1}{\sqrt{(x^2+a^2)(x^2+b^2)}}dx$.

75. Disegnare la Lemniscata di Bernoulli, cioè l'insieme dei punti $(x,y)$ del piano tali che $(x^2+y^2)^2=x^2-y^2$. Mostrare che si tratta di una curva la cui lunghezza totale è $2\pi/M(1,\sqrt{2})$.

Teorema della funzione implicita

☞ 76. Sia $F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2$ data da $F(x,y,z)=(\sin x+\sin y+\sin z -1, \cos x+\cos y+\cos z -1)$. Sia $Z=\{(x,y,z)\mid F(x,y,z)=(0,0)\}$. Mostrare che $P=(0,5\pi/6,\pi/6)$ è in $Z$ e che esistono funzioni reali $f, g$ tali che $Z=\{(f(x),g(x))\mid x\in (-1,1)\}$ in un intorno di $P$. Scrivere equazioni per la retta tangente a $Z$ in $P$.

77. Dato un sottoinsieme $A$ di $\mathbb{R}^n$, dimostrare che le seguenti condizioni sono equivalenti:
- è localmente diffeomorfo a un aperto di $\mathbb{R}^p$;
- è localmente il grafico di una funzione liscia che esprime $n-p$ delle coordinate in funzione delle altre $p$;
- è localmente la controimmagine di $0$ per una funzione da $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{R}^{n-p}$ il cui differenziale in $0$ abbia rango $n-p$;
- è localmente l'immagine di una funzione liscia da $\mathbb{R}^p$ in $\mathbb{R}^n$ il cui differenziale abbia rango massimo.

78. Sia $t\mapsto A(t)$ una funzione $C^1$ da $\mathbb{R}$ nelle matrici simmetriche $n\times n$, considerate nello spazio euclideo $\mathbb{R}^{n^2}$. Supponiamo che $\lambda_0$ sia un autovalore di $A(0)$ di molteplicità 1. Dimostrare che esistono $\epsilon>0$ e una funzione $C^1$ $\lambda:[0,\epsilon)\to\mathbb{R}$ con $\lambda(0)=\lambda_0$ tali che $\lambda(t)$ sia un autovalore di $A(t)$ di molteplicità 1 per $t\in[0,\epsilon)$. Dimostrare che $\frac{d\lambda}{dt}(0)=x^TA'(0)x$, dove $x$ è un autovettore di $A(0)$ relativo a $\lambda_0$ di norma Euclidea uguale a $1$.

79. Sia $(x,y)\mapsto (f(x,y),g(x,y))$ una funzione $C^1$ da $\mathbb{R}^2$ in sé. Mostrare che localmente una fra $f$ e $g$ è funzione dell'altra (si può scrivere $f(x,y)=h(g(x,y))$ o $g(x,y)=h(f(x,y))$ in un appropriato intorno di $(x_0,y_0)$).

80. Sia $A$ un aperto di $\mathbb{R}^2$ contenente il punto $(x_0, y_0)$ e sia $F\in C^2(A)$ una funzione tale che $F(x_0,y_0)=0$, $\nabla F(x_0,y_0)=(0,0)$, $\operatorname{det}HF(x_0,y_0)<0$. Sia inoltre $Z=\{(x,y)\in A\mid F(x,y)=0\}$. Dimostrare che, per un opportuno intorno $U$ di $(x_0,y_0)$, $Z\cap U$ è l'unione di due grafici di funzioni $C^1$ che si intersecano trasversalmente (i.e. che hanno tangenti non coincidenti in $(x_0,y_0)$). Di conseguenza, $Z$ non è localmente il grafico di una funzione in una variabile intorno a $(x_0,y_0)$.

Moltiplicatori di Lagrange

81. Siano $f, \phi$ funzioni reali $C^1$ su un aperto $A$ di $\mathbb{R}^n$. Dato $a\in\mathbb{R}^n$, sia $E_a=\{x\in A\mid \phi(x)=a\}$ e si supponga $\nabla\phi(x)\neq 0$ per $x\in E_a$. Mostrare che, se $x_0\in E_a$ è tale che $f(x_0)=\min\{f(x)\mid x\in E_a\}$, allora esiste $\lambda\in\mathbb{R}$ tale che $\nabla f(x_0)+\lambda\nabla\phi(x_0)=0$.

82. Siano $f, \phi, A, x_0, \lambda$ come nell'esercizio precedente, e assumiamo che $f, \phi$ siano $C^2$. Sia $h(x)=f(x)+\lambda\phi(x)$; mostrare che se $v\cdot\nabla\phi(x_0)=0$ allora $v\cdot (Hh)v\geq 0$, dove $Hh$ è l'Hessiana di $h$ in $x_0$.

Ecco una traccia (in verità abbastanza dettagliata) di soluzione per gli ultimi due problemi, che non avevamo corretto per bene a esercitazione; notare che questa soluzione non è la più rapida che si possa produrre, ma è completamente elementare! Moltiplicatori di Lagrange

Perdonate la lista degli esercizi arrivata tardissimo: avete però un sacco di tempo per pensarci, perché come dicevamo l'altra volta correggeremo esercizi vecchi questo giovedì (chi non ha risposto al questionario potrebbe a questo punto farlo, se possibile entro domani, anche solo segnalando i problemi che vuole vedere corretti se ne ha!). Notate che nella seconda parte di questa mandata ci sono (anche) esercizi sugli argomenti che tratterete oggi a lezione. Vi pubblicherò con calma un'ulteriore mandata di esercizi di calcolo differenziale quando l'avrete fatto, e poi ne correggeremo un po' insieme dopo i colloqui.

Convergenza uniforme

☞ 56. Per le seguenti successioni di funzioni da $\mathbb{R}$ in $\mathbb{R}$, si determini l'insieme dei punti sui quali convergono e se su tale insieme convergono o meno uniformemente:
$f_n(x)=\frac{1}{1+(x-n)^2}$;
$f_n(x)=|x|^{1/n}e^{nx}$;
$f_n(x)=(1-\cos(x/n))^n$;
$f_n(x)=(x^2-x)^n$.

☞ (importante ma non banale) 57. [Svolto il 28/3] Sia $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ una successione di funzioni reali continue su un compatto $K$ di $\mathbb{R}$, decrescente nel senso che per ogni $n$ si abbia $f_{n+1}\leq f_n$ su $K$, che converga puntualmente a una funzione continua $f$ su $K$. Dimostrare che la convergenza è in realtà uniforme. Questo risultato sarebbe vero se non fossimo su un compatto? Se il limite non fosse continuo? Se non si avesse definitivamente $f_{n+1}\leq f_n$?

☞ 58. [Svolto il 28/3] Sia $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ una successione di funzioni reali continue definite su un intervallo chiuso $[a,b]$, ciascuna debolmente crescente, che convergano puntualmente verso una funzione $f$ continua su $[a,b]$. Si dimostri che la convergenza è uniforme.

59. Dimostrare che l'indicatrice dei razionali non è limite puntuale di funzioni continue.

Serie di funzioni

☞ (almeno alcune!) 60. Discutere la convergenza (puntuale/assoluta/uniforme/totale) delle seguenti serie di funzioni

61. [Svolto il 28/3] Sia $f(z)$ la somma della serie di potenze $\sum_{n=0}^\infty a_nz^n$ su $C=\{z\in\mathbb{C}\mid |z|<r\}$. Supponiamo che la serie converga in un punto $z_0=re^{i\theta}\in\partial C$, con somma $S\in\mathbb{C}$. Si provi che allora la serie converge uniformemente nel segmento di estremi $0$ e $z_0$, e che $\lim_{\rho\to r^-}f(\rho e^{i\theta})=S$.
Una volta dimostrato questo, confronta con il più forte Teorema 6.33 delle note del corso!

62. Siano $f_n, g_n$ successioni di funzioni da uno spazio metrico in $\mathbb{R}$ tali che

• la serie delle $f_n$ ha somme parziali uniformemente limitate in $X$;
• $g_n\to 0$ uniformemente su $X$;
• $g_{n+1}\leq g_n$ per ogni $n\in\mathbb{N}$.

Si dimostri che la serie $\sum_{n=0}^\infty f_ng_n$ converge uniformemente su $X$.

63. Sia $\zeta$ una radice primitiva $m$-esima dell'unità per $m\geq 2$; dimostrare che $\sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{\zeta^n}{n^x}$ converge uniformemente sui compatti di $\mathbb{R}_{>0}$.

☞ 64. Si calcoli lo sviluppo in serie delle funzioni $\frac{1}{1-x}$, $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, $\sinh x$, $\cosh x$, $(1+x)^\alpha$, $\cos^2 x$ intorno a 0, se ne determini il raggio di convergenza e l'insieme di convergenza.

65. [Svolto il 28/3] Si dimostri che $1-\frac12+\frac13-\frac14+\ldots=\log(2)$ e che $1-\frac15+\frac17-\frac19+\ldots=\pi/4$.

☞ 66. Data una matrice $n\times n$ su $\mathbb{C}$ definiamo il suo esponenziale $e^A$ come \(\sum_{k=0}^{\infty} A^k/k\). Dimostrare che tale serie converge per ogni $A$ (nel senso della distanza indotta da una qualunque norma su $\mathbb{C}^{n^2}$). Mostrare inoltre che $e^A=\lim_{k\to\infty}(Id+A/k)^k$.

67. Si provi che, se $A$ e $B$ (matrici $n\times n$ su $\mathbb{C}$ come sopra) commutano allora $e^{A+B}=e^Ae^B$. È vero se $A$ e $B$ non commutano? Cosa si può dire sull'invertibilità della matrice $e^A$?

68. Si dimostri che se $f\in C^\infty(\mathbb{R})$ è tale che tutte le sue derivate siano non negative allora è analitica.

☞ 69. Si dimostri che $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ è analitica su tutto $\mathbb{R}$ ma che il suo raggio di convergenza del suo sviluppo centrato in $x_0$ è $\sqrt{1+x_0^2}$.

☞ 70. Calcolare il raggio di convergenza delle seguenti serie di potenze:

Come promesso, un set di esercizi un po' più tardivo e un po' più scarno per questa volta!

Sia $f:(X,d_X)\to (Y,d_Y)$ una funzione. Un modulo di continuità per $f$ è una funzione $\omega:[0,\infty)\to [0,\infty]$ debolmente crescente e continua in $0$ tale che si abbia $\omega(0)=0$, $d_Y(f(x),f(y))\leq \omega(d_X(x,y))$ per $x,y\in X$.
47. Dimostrare che $f$ ha un modulo di continuità se e solo se è uniformemente continua.
48. Dimostrare inoltre che, se $f$ ha un modulo di continuità, ne ha uno che sia continuo dove non è infinito.
49. Dimostrare che, se $X$ è un intervallo e $Y$ è $\mathbb{R}$ con la distanza euclidea, $f$ è uniformemente continua se e solo se ammette modulo di continuità finito. Cosa si può dire in generale sull'esistenza o meno di un modulo di continuità finito?

50. Supponiamo che $(Y,d_Y)$ sia completo e consideriamo $f:A\to Y$, dove $A\subseteq X$. Mostrare che, se $f$ è uniformemente continua, allora si estende in modo unico a una funzione $g:\overline{A}\to Y$ continua, che è anche uniformemente continua. Se $\overline{A}$ è compatto si può in effetti caratterizzare così la continuità uniforme: $f$ è uniformemente continua se e solo se si estende a $g:\overline{A}\to Y$ continua.

51. Mostrare (idealmente utilizzando il modulo di continuità!) che se $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ è uniformemente continua, allora esistono costanti positive $C, M$ tali che $|f(x)|\leq C|x|$ per $|x|\geq M$.

52. Dimostrare che se $f:I\to\mathbb{R}$ (con $I$ intervallo) è $\alpha$-Hölderiana con $\alpha>1$ allora è costante.

53. Costruire (se esiste) un esempio di funzione in ciascuna categoria: $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ uniformemente continua ma non Hölderiana; $f$ continua ma non uniformemente continua; $f$ uniformemente continua fra spazi metrici che non sia limitata su ogni limitato; $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ continua e non monotona su nessun intervallo.

54. Dimostrare che esiste una topologia sull'insieme delle funzioni da $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ tale che $f_n\to f$ secondo questa topologia se e solo se le $f_n$ convergono a $f$ puntualmente, ma che non esiste una metrica che induca questa topologia.

55. È vero che, se $f_n\to f$ funzioni da $\mathbb{R}$ in $\mathbb{R}$ convergono uniformemente e le $f_n$ sono uniformemente continue, allora il limite $f$ è uniformemente continuo? È vero se, anziché la convergenza uniforme su $\mathbb{R}$, vale la convergenza uniforme su tutti i compatti $K\subseteq \mathbb{R}$?

Spazi metrici e topologie indotte

☞ 31. Dato uno spazio metrico $(X,d)$, sia $\phi:\mathbb{R}_{\geq 0}\to\mathbb{R}_{\geq 0}$ una funzione debolmente crescente e subadditiva, cioè tale che si abbia $\phi(t)+\phi(s)\geq\phi(t+s)$ per $t,s\geq 0$, tale che $\phi^{-1}(0)=\{0\}$. Mostrare che $\phi\circ d$ è ancora una distanza su $X$. Mostrare che se $\phi$ è continua in 0 allora la topologia generata da $d$ è la stessa della topologia generata da $\phi\circ d$. Il viceversa è vero?
☞ 32. Sia $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ una successione di elementi di uno spazio vettoriale $V$ dotato di una distanza ultrametrica (vedi definizione nelle note) $d$ che sia invariante per traslazioni e lo renda completo; si dimostri che la serie (i.e. la successione delle somme parziali) degli $a_n$ converge in $(V,d)$ se e solo se $a_n\to 0$ in $(V,d)$.
33. Sia $V$ uno spazio vettoriale su $\mathbb{R}$. Una norma su $V$ è una funzione $\|\cdot\|:V\to\mathbb{R}_{\geq 0}$ tale che valgano: $\|v\|=0$ se e solo se $v=0$; $\|\lambda v\|=|\lambda|\|v\|$ per ogni $\lambda\in \mathbb{R}, v\in V$; $\|v+w\|\leq \|v\|+\|w\|$ per ogni $v,w\in V$.
Dimostrare che, se $\|\cdot\|$ è una norma, allora $d(v,w)=\|v-w\|$ è una distanza su $V$. Dimostrare che, date due norme su uno spazio $V$ di dimensione finita, le loro distanze corrispondenti sono bi-Lipschitz equivalenti. La conclusione vale anche per $V$ di dimensione infinita?
☞ 34. Mostrare che $\mathbb{R^2}\setminus\{0\}$ (con la metrica euclidea) e $S^1\times \mathbb{R}$ (con la metrica prodotto fra la metrica geodetica e quella euclidea) sono omeomorfi (per le rispettive topologie indotte) ma non isometrici.
35. Fornire, se esiste, un esempio di uno spazio topologico compatto ma non sequenzialmente compatto e un esempio di spazio topologico sequenzialmente compatto ma non compatto.
36. Sia $(X,d)$ uno spazio metrico tale che ogni funzione continua da $X$ in $\mathbb{R}$ abbia massimo. Dimostrare che $X$ è compatto.

Razionali e interi $p$-adici

☞ 37. Su $\mathbb{Q}$, si consideri la distanza $p$-adica descritta dalle note del corso. Si dimostri che è una ultrametrica (vedi note) e che $\mathbb{Q}$ non è completo per questa distanza. Sia $\mathbb{Q}_p$ un completamento del suddetto spazio metrico; dimostrare che le palle chiuse in $\mathbb{Q}_p$ (i.e. gli insiemi della forma $B(x,p^{-r})=\{y\in \mathbb{Q}_p \mid |x-y|_p\leq p^{-r}\}$, con $r$ intero positivo) sono sia chiuse che aperte. Dimostrare che $\mathbb{Q}_p$ (con la topologia indotta dalla distanza $p$-adica) è totalmente disconnesso e T2.
38. Si dimostri che lo spazio metrico $\mathbb{Z}_p\subset \mathbb{Q}_p$ degli interi $p$-adici, dato dalla palla $B(0,1)$ nella notazione dell'esercizio precedente, è compatto e omeomorfo a $B(x,p^{-r})$ per qualunque intero $r$ e $x\in\mathbb{Q}_p$.

La distanza di Hausdorff

☞ 39. Sia $(X,d)$ uno spazio metrico e siano $C_1,C_2\subseteq X$ due chiusi disgiunti. Dimostrare che esiste una funzione continua $f:X\to\mathbb{R}$ tale che $f|_{C_1}\equiv 1$ e $f|_{C_2}\equiv 0$. Dedurre che esistono due aperti disgiunti $U_1, U_2$ tali che $C_1\subset U_1$, $C_2 \subset U_2$.
40. La tesi dell'esercizio 39 è vera per ogni spazio topologico T2?
41. Sia $(X,d)$ uno spazio metrico. Sia $\mathcal{B}(X)$ l'insieme dei chiusi limitati di $X$ (cioè dei chiusi $C$ tali che $\sup_{x,y\in C}d(x,y)<\infty$). Dato $C\in \mathcal{B}(X)$ e $x\in X$, scriviamo $d(x,C)$ per $\inf_{y\in C}d(x,y)$. Si consideri la funzione $d_H:\mathcal{B}(X)^2\to\mathbb{R}$ che manda $(C,C')$ in $\max\{\sup_{x\in C}d(x, C'), \sup_{y\in C'}d(y, C)\}$. Dimostrare che $d_H$ è una distanza su $\mathcal{B}(X)$.
42. Dimostrare che, se $(X,d)$ è compatto, allora $(\mathcal{B}(X),d_H)$ è compatto. Se lo spazio $X$ è completo, è vero che $(\mathcal{B}(X),d_H)$ è completo?
43. Mostrare che le approssimazioni standard della stella di Koch convergono formalmente verso la stella di Koch secondo la distanza $d_H$, e similmente per i soliti chiusi la cui intersezione dà il Cantor.

Metrizzabilità e isometrie

44. Uno spazio topologico è metrizzabile se esiste una metrica sullo spazio che induca la sua topologia. Determinare, per i seguenti spazi, se sono o meno metrizzabili (se sì, esibire una metrica appropriata): qualunque spazio con la topologia discreta; la retta di Sorgenfrey; la topologia di Zariski su $\mathbb{F}^n$ infinito; la topologia d'ordine su $\mathbb{R}^2$ data dall'ordine "$(x,y)>(x',y')$ se e solo se $x>x'$ o $x=x'$ e $y>y'$"; la topologia d'ordine data dall'ordine sopra descritto su $[0,1]\times [0,1]$.
45. Dato uno spazio metrico $(X,d)$, sia $(\ell_{\infty}(X), d_\infty)$ lo spazio metrico delle funzioni da $X$ a $\mathbb{R}$ con la distanza del sup ($d_\infty(f,g)=sup_{x\in X}|f(x)-g(x)|$). Dimostrare che, qualunque sia $X$, $(\ell_{\infty}(X), d_\infty)$ è completo.
46. Dimostrare che qualunque spazio metrico $(X,d)$ è isometrico a un sottoinsieme di $(\ell_{\infty}(X), d_\infty)$ (consiglio: provate a dimostrarlo prima nel caso in cui $X$ sia limitato). Dedurre che ogni spazio metrico la cui cardinalità non sia più che quella di $\mathbb{R}$ si può immergere isometricamente in $(\ell_{\infty}(\mathbb{R}), d_\infty)$.

Breve nota: anziché segnare alcuni esercizi come "più difficili" o extra, ho deciso di indicare con ☞ un sottoinsieme degli esercizi "minimale" che consiglio a tutti di assicurarsi di essere capaci di svolgere e – cosa non scontata – scrivere bene. Nessuno dei problemi ☞ dovrebbe porre difficoltà insormontabili (a meno di typo o errori in qualche esercizio, che sono ovviamente possibili e che vi prego di far presenti a esercitazione!). Buon weekend e buon lavoro!

Alcuni esempi di spazi topologici

☞ 16. [Svolto 16/2] (Retta di Sorgenfrey) Su $\mathbb{R}$, si consideri la topologia generata dagli intervalli della forma $[a,b)$ con $a<b$. Mostrare che è una topologia strettamente più fine di quella standard (gli aperti "normali" sono tutti aperti in questa topologia, ma non viceversa). Quali sottoinsiemi in questa topologia sono connessi? Cosa riuscite a dire sui sottoinsiemi compatti in questa topologia?

☞ 17. [Svolto 16/2] (Topologia d'ordine) Dato un insieme $X$ dotato di un ordine totale $<$, la topologia d'ordine su $X$ è quella generata dagli insiemi della forma $\{x\in X\mid x<a\}$ e $\{x\in X\mid a<x\}$, dove $a\in X$. Ad esempio, la topologia di $\mathbb{R}$ è la sua topologia d'ordine per l'ordinamento standard. Mostrare un esempio di sottoinsieme di $\mathbb{R}$ la cui topologia indotta non sia quella d'ordine.

18. [Svolto 16/2] (Topologia di Zariski) Sia $\mathbb{F}$ un campo. Dato un insieme $S$ di polinomi in $\mathbb{F}[x_1,\ldots,x_n]$, chiamiamo $V(S)\subseteq \mathbb{F}^n$ l'insieme degli zeri comuni a tutti gli elementi di $S$ ($\underline{x}\in V(S) \iff \forall p\in S$ $p(\underline{x})=0$). Dimostrare che la collezione di sottoinsiemi di $\mathbb{F}^n$ che sono della forma $V(S)$ per un qualche $S\subseteq\mathbb{F}[x_1,\ldots,x_n]$ è l'insieme dei chiusi di una topologia su $\mathbb{F}^n$, detta topologia di Zariski. Mostrare che lo spazio $\mathbb{F}^n$ dotato di tale topologia non è T2 (cioè Hausdorff) a meno che $\mathbb{F}$ non sia finito (nel qual caso, in cosa consiste la topologia di Zariski?) Dimostrare che, se $\mathbb{F}$ è infinito, interpretando $\mathbb{F}^{n^2}$ come l'insieme delle matrici $n\times n$ a coefficienti in $\mathbb{F}$, le matrici invertibili sono dense in $\mathbb{F}^{n^2}$ per la topologia di Zariski. Utilizzare questo fatto per dimostrare il Teorema di Binet.

☞ 19. [Svolto 16/2] Per tutte le possibili coppie di spazi della lista seguente, esibire un omeomorfismo fra i due o dimostrare che i due spazi non sono omeomorfi: $\mathbb{R}, [0,1], [0,1), (0,1), S^1, S^2, \mathbb{R}^2$.
20. Dimostrare che $\mathbb{R}^2$ ed $\mathbb{R}^3$ non sono omeomorfi (pensateci, ma questo è più difficile di quanto non sembri e certamente facoltativo)!

Compattezza, connessione

☞ 21. [Svolto 16/2] Dimostrare che un compatto in uno spazio T2 è chiuso e fornire un esempio di un compatto non chiuso. Dimostrare che una funzione continua e bigettiva da uno spazio compatto a uno spazio T2 è un omeomorfismo. L'affermazione rimane vera rilassando l'ipotesi "compatto" o l'ipotesi "T2"?
☞ 22. [Svolto 16/2] Dimostrare che, data una successione di compatti chiusi non vuoti "annidati" $(K_i)_{i\in\mathbb{N}}$ in uno spazio topologico $X$ tale che per $i\in\mathbb{N}$ $K_{i+1}\subseteq K_i$, l'intersezione $\cap_{i\in\mathbb{N}}K_i$ è non vuota. Si può eliminare la condizione "compatti"? Si può eliminare la condizione "chiusi"? (Questo è un lemma IMPORTANTE che forse avrete visto o vedrete a lezione: siate capaci di dimostrarlo e tenetelo presente come strumento da usare!)
☞ 23. [Svolto 16/2] Esiste una funzione continua bigettiva da $(0,1)$ in $[0,1]$?
☞ 24. L'insieme $\mathbb{R}^2\setminus r$, dove $r$ è una retta, è connesso? L'insieme $\mathbb{C}^2\setminus r$, dove $r$ è un sottospazio affine di dimensione (su $\mathbb{C}$) 1, è connesso?
25. Dimostrare che la chiusura dell'insieme $\{(x,\sin(1/x)\mid x\in (0,1]\}$ è connessa, ma non connessa per archi.

Topologia prodotto

☞ 26. Dimostrare che le proiezioni per la topologia prodotto sono continue e aperte. Dimostrare che una funzione da uno spazio topologico a un prodotto di spazi topologici è continua se e solo se lo sono le sue composizioni con le proiezioni canoniche.
☞ 27. Dimostrare che prodotto di T2 è T2 e che prodotto di connessi è connesso. Dimostrare che il prodotto di due spazi compatti è compatto.
28. Dimostrare che, con la box topology generata da tutti i rettangoli (e non dai soli insiemi cilindrici) il prodotto di spazi topologici compatti non è necessariamente compatto. Dimostrare che la funzione $x\mapsto (x,x,x,\ldots)$ da $\mathbb{R}$ in $\mathbb{R}^\omega$ è continua se su $\mathbb{R}^\omega$ si considera la topologia prodotto, ma non se su $\mathbb{R}^\omega$ si considera la box topology.
29. Dimostrare che lo spazio $\{0,1\}^\omega$ con la topologia prodotto (di una quantità numerabile di copie della topologia discreta su $\{0,1\}$) è omeomorfo all'insieme di Cantor con la topologia indotta dalla topologia di $\mathbb{R}$.
30. [Parzialmente svolto 16/2] Ecco una caratterizzazione alternativa forse un po' sorprendente della compattezza. Dimostrare che uno spazio topologico $X$ è compatto se e solo se per ogni spazio topologico $Y$ la proiezione $\pi_Y: X\times Y \to Y$ è chiusa.

Chiusure, parti interne, frontiere, palle in $\mathbb{R}^n$

1. [Svolto 2/2] Che relazioni di contenimento esistono fra $\overline{A}\cap \overline{B}$ e $\overline{A \cap B}$, fra $\overline{A}\cup \overline{B}$ e $\overline{A \cup B}$, fra ${A}^\circ\cap {B}^\circ$ e $(A \cap B)^\circ$, fra ${A}^\circ\cup {B}^\circ$ e $(A \cup B)^\circ$? (Quando una relazione di contenimento non è vera in generale, fornire un controesempio.)
2. [Svolto 2/2] Che relazioni di contenimento esistono fra $A,\partial A, \partial\partial A, \partial\partial\partial A, \ldots$? (Quando una relazione di contenimento non è vera in generale, fornire un controesempio.)
3. [Svolto 2/2] Dimostrare che ogni aperto di $\mathbb{R}$ è un'unione disgiunta numerabile di intervalli aperti (i.e. intervalli della forma $(a,b)$, con $a\in \mathbb{R}\cup\{-\infty\}$ e $b>a$ in $\mathbb{R}\cup\{+\infty\}$).
4. [Svolto 2/2] È vero che ogni aperto di $\mathbb{R}^n$ è unione numerabile di palle aperte? È vero che ogni aperto di $\mathbb{R}^n$ è unione di palle aperte disgiunte?
5. [Svolto 9/2] Quali sono i sottoinsiemi di $\mathbb{R}$ che sono sia chiusi sia aperti? E quelli di $\mathbb{R}^n$?
6. Si può esprimere $(0,1)$ come unione numerabile di intervalli chiusi disgiunti?

Una digressione sulla dimensione di Minkowski

Dato un insieme $S$ limitato in $\mathbb{R}^n$ e dato $\epsilon>0$, definiamo $N_\epsilon(S)$ come il minimo $k\in\mathbb{N}$ tale che esistano $x_1,\ldots,x_k\in\mathbb{R}^n$ per cui $S\subseteq \bigcup_{i=1}^k B(x_i,\epsilon)$, i.e. il minimo numero di palle aperte di $\mathbb{R}^n$ sufficiente per coprire l'insieme $S$. Definiamo la dimensione di Minkowski superiore di $S$ come
$\displaystyle{\operatorname{\overline{dim}_M}(S)=\limsup_{\epsilon\to 0}\frac{\log(N_\epsilon(S))}{-\log(\epsilon)}};$
similmente si definisce la dimensione di Minkowski inferiore come il $\liminf$ corrispondente e, se le due coincidono, il loro valore è detto semplicemente dimensione di Minkowski e denotato con $\operatorname{dim_M}(S)$.

7. [Svolto 2/2] Mostrare che, per $S=[0,1]^d\times \{0\}^{n-d}$, con $d\leq n$, si ha $\operatorname{dim_M}(S)=d$.
8. [Svolto 2/2] Mostrare che, per $(S=[0,1]\cap\mathbb{Q})\times \{0\}^{n-1}$, si ha $\operatorname{dim_M}(S)=1$.
9. Mostrare le seguenti proprietà (enunciate per la dimensione superiore, ma valide anche per quella inferiore):

• $\operatorname{\overline{dim}_M}(S)=\operatorname{\overline{dim}_M}(\overline{S})$;
• se $A\subseteq B\subseteq \mathbb{R}^n$, $\operatorname{\overline{dim}_M}(A)\leq\operatorname{\overline{dim}_M}(B)$;
• $\operatorname{\overline{dim}_M}(A_1\cup A_2 \cup \ldots A_k)=\max_{1\leq i\leq k}\operatorname{\overline{dim}_M}(A_i)$ (cosa si può dire nel caso di un'unione numerabile?);
• Se $A$ è finito, allora $\operatorname{\overline{dim}_M}(A)=0$.

10. Dato $S\subset \mathbb{R}^n$ limitato ed $\epsilon>0$, definiamo le seguenti quantità:
$N^{box}_\epsilon(S)=\min\{k\mid \exists x_1,\ldots, x_k\in\mathbb{R}^n : S\subseteq \bigcup_{i=1}^k x_i+[-\epsilon/2,\epsilon/2]^n\}$
$N^{int}_\epsilon(S)=\min\{k\mid \exists x_1,\ldots, x_k\in S : S\subseteq \bigcup_{i=1}^k B(x_i,\epsilon)\}$
$N^{pack}_\epsilon(S)=\max\{k\mid \exists x_1,\ldots, x_k\in S : B(x_i,\epsilon)\mbox{ disgiunte}\}$
$N^{net}_\epsilon(S)=\max\{k\mid \exists x_1,\ldots, x_k\in S : |x_i-x_j|\geq\epsilon\mbox{ per }i\neq j\}$
Mostrare che la dimensione di Minkowski (superiore/inferiore) si può definire equivalentemente con qualunque di queste quantità al posto di $N_\epsilon(S)$.
11. Calcolare $\operatorname{dim_M}(\{\frac{1}{n}\mid n\in\mathbb{N}_+\})$.
12. Calcolare $\operatorname{dim_M}(C)$, dove $C\subset [0,1]$ è l'insieme di Cantor.
13. Produrre un esempio di insieme $S$ per il quale la dimensione di Minkowski superiore e quella inferiore non coincidono.
14. Calcolare $\operatorname{dim_M}(\{(x,\sin(1/x))\mid x\in (0,1]\})$.
15. Dimostrare che, se $f$ è una funzione reale $C^1$ su $[0,1]$, allora il suo grafico $\{(x,f(x))\mid x\in[0,1]\}\subset \mathbb{R}^2$ ha dimensione di Minkowski 1. Riuscite ad indebolire la condizione $C^1$? In particolare, lo statement è vero per una funzione continua?