PeiPC Maths – Semaine 3

Cette semaine on a parlé de

• espaces vectoriels réels, definitions et exemples
• sous-espaces vectoriels
• combinaison linéaires, le (sous)-espace engendré par un ensemble de vecteurs

QUESTIONS :

[♣︎❄︎❄︎☕︎] On considère l'espace vectoriel (réel) $\mathbb{R}[x]$ des polynômes à coefficients réels, avec les operations usuelles de somme et multiplication par scalaires. Dire si les sous-ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels ;

• les polynômes de $\mathbb{R}[x]$ qui admettent 0 comme racine ;
• les polynômes de la forme $ax^3+bx^2+cx+d$, avec $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ ;
• les polynômes de la forme $ax^3+bx^2+cx+d$, avec $a,b,c,d\in\mathbb{R}$, tels que le produit de leur racines est égal à 7 ;
• le polynômes de degré égal à 3 ;
• les polynômes de $\mathbb{R}[x]$ ayant 0 pour somme de leurs coefficients.

[♣︎❄︎❄︎☕︎] On considère l'espace $\mathbb{R}^3$, avec sa structure usuelle d'espace vectoriel réel. Dire si les ensembles suivants sont des sous-espaces de $\mathbb{R}^3$ ; si c'est le cas, donner une partie génératrice (c'est-à-dire exprimer le sous-espace comme $\operatorname{Vect}(v_1,\ldots, v_n)$ pour des vecteurs $v_1,\ldots,v_n$ de $\mathbb{R}^3$ :

• l'ensemble des vecteurs $(x,y,z)$ tels que $x+3y+z=0$ ;
• l'ensemble des vecteurs $(x,y,z)$ tels que $x^2+y^2+z^2=0$ ;
• l'ensemble des vecteurs de la forme $(x,y,1)$, avec $x,y\in\mathbb{R}$ ;
• l'ensemble des vecteurs de la forme $(t,s+t,s-t)$, avec $s,t\in\mathbb{R}$ ;
• l'ensemble des vecteurs de la forme $(2t,s-t+1,s)$, avec $s,t\in\mathbb{R}$ ;
• l'ensemble des vecteurs de la forme $(2a,2b,2c)$, avec $a,b,c\in\mathbb{Z}$ ;
• l'ensemble des vecteurs orthogonaux au vecteur $(1,7,-2)$.