Equazioni differenziali
83. Per ogni punto del piano con
passa un’unica ellisse
(con
). Descrivere la famiglia di curve che in ogni punto sono ortogonali all’ellisse passante per quel punto.
84. Sia un intervallo aperto. Sia
una funzione continua positiva, e sia
una funzione differenziabile che risolve l’equazione differenziale
: mostrare che o
è sempre crescente, nel qual caso si ha
per ogni
, oppure è sempre decrescente, nel qual caso si ha
; dunque
è di classe
.
85. Descrivete tutte le funzioni differenziabili che risolvono
; mostrare che sono
e in effetti
a tratti.
86. Sia una funzione
tale che
e
per ogni
. Si provi che la funzione
è identicamente nulla.
87. Determinare la soluzione generale dell’equazione differenziale
88. Discutere le soluzioni di
studiandone in modo qualitativo l’esistenza (locale o globale) delle soluzioni, le proprietà di monotonia e convessità/concavità.
89. Per il problema di Cauchy
mostrate che esiste unica la soluzione globale , e che
è limitata e esistono finiti i limiti
e
.
90.Discutete l’equazione differenziale
per , studiando in modo qualitativo l’esistenza (locale o globale) delle soluzioni, le proprietà di monotonia e convessità/concavità. Mostrate che la soluzione esiste per tutti i tempi positivi, ma che per
non si estende a tutti i tempi negativi. Mostrate che esiste un
critico tale che, per
la soluzione non si estende a tutti i tempi negativi, mentre per
la soluzione esiste per tutti i tempi negativi; inoltre per
si ha
.
91. Consideriamo l’equazione differenziale , dove
è una funzione continua. Dimostare che tutte le soluzioni con
esplodono in tempo finito se e solo se
. L'ipotesi che
è davvero necessaria?
92. Si consideri il problema di Cauchy ,
, dove
è una funzione continua. Dimostrare che c'è esistenza globale (nel futuro) se e solo se
,
93. Consideriamo l’equazione differenziale . Dimostrare che, se
è una funzione continua e limitata, allora l’equazione ammette esattamente una soluzione limitata su tutta la retta.
Consideriamo l’equazione differenziale . Dimostrare che esiste una funzione
continua e limitata e tale che l’equazione non ammette nessuna soluzione limitata su tutta la retta.
94. Consideriamo l’equazione differenziale
,
dove è un parametro reale ed
è una funzione continua.
- Dimostrare che, se
e
è limitata allora l’equazione ammette sempre esattamente una soluzione limitata su tutta la retta.
- Dimostrare che, se
, allora le soluzioni sono tutte limitate o tutte illimitate, ed entrambi i casi si possono realizzare per opportune scelte di
.
- Dimostrare che, qualunque sia il valore di
, se
è periodica allora l’equazione ammette esattamente una soluzione periodica.
95. Determinare la soluzione generale dell’equazione differenziale