December 13, 2015 phi 0

PeiPC Maths – Semaine 5

Standard

Applications linéaires, noyau, image

QUESTIONS :

[♠︎❄︎❄︎☕︎] Dire si les fonctions suivantes sont linéaires ou pas, et justifier sa réponse

  • f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2: f\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x+y+z\\2x\end{pmatrix}
  • f:\mathbb{R}[x]\to\mathbb{R}: f(p(x))=p(0)
  • f:\mathbb{R}[x]\to\mathbb{R}: f(p(x))=p(2)
  • f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2: f(v)=|v|\ v
  • f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2: f(t)=(t,t^2)
  • f:\mathbb{R}[x]\to\mathbb{R}[x]: f(p(x))=3p(x)+5p(0)
  • (*) f:\mathbb{R}[x]\to\mathbb{R}[x]: f(p(x))=p(x+1)-p(x)

[♠︎❄︎❄︎] Dire s'il existe  une application linéaire f de V dans W telle que f(v_i)=w_i dans les cas suivants ; quand une telle f existe, préciser si elle est unique :

  • V=\operatorname{Vect}(v_1,v_2), W=\mathbb{R}^2
    v_1=\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}, v_2=\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}, w_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},w_2=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}
  • V=\mathbb{R}^3, W=\mathbb{R}^2
    v_1=\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}, v_2=\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}, v_3=\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}, w_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},w_2=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix},w_3=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}
  • V=\mathbb{R}^2, W=\mathbb{R}^3
    v_1=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}, v_2=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}, v_3=\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}, w_1=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix},w_2=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix},w_3=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}
  • V=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} : x+y+z=0\right\}, W =\mathbb{R}^4
    v_1=\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}, v_2=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}, w_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix} ,w_2=\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}

[♠︎❄︎❄︎☕︎] Pour chacune des applications linéaires suivantes, déterminer la dimension du noyau et la dimension de l'image :

  • f:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3 : f((x,y,z,w))=(x+y,x-y,z+w)
  • f:\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mbox{ t.q. }x-y-2z=0\right\}\to\mathbb{R}^2 : f((x,y,z))=(x-y,2z)
  • f:\{ax^3+bx^2+cx+d\mbox{ t.q. }a,b,c,d\in\mathbb{R}\}\to\mathbb{R}[x] : f(p(x))=p'(x)
  • f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 : f((x,y))=(x+y,x+y,x+y)
  • f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^3 : f(t)=(3t,t,-t)

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