Contrôle 3 Exo 1 – Corrigé

Problème 1. Soient $V$ et $W$ les espaces vectoriels suivants :
$V=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^4\mbox{ t.q. } x-y+2z=w\right\}$
$W=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^4\mbox{ t.q. } x+2y+w=0 \mbox{ et } x-y-z+w=0 \right\}$

• Quelle est la dimension de $V$ ?

L'espace $V$ est défini comme sous-espace de $\mathbb{R}^4$ par une seule équation, donc sa dimension est $4-1=3$.

• Exprimer $W$ comme le noyau d'une application linéaire entre $\mathbb{R}^4$ et $\mathbb{R}^2$. En déduire la dimension de $W$.

L'espace $W$ est le noyau de l'application linéaire $f_W:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^2$ représentée (par rapport aux bases canoniques de $\mathbb{R}^4$ et $\mathbb{R}^2$) par la matrice
$M_W=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 & 1\\1 & -1 & -1 & 1\end{pmatrix}$.
On a $4=\operatorname{dim}\mathbb{R}^4=\operatorname{dim}\ker f_W+\operatorname{dim}\operatorname{Im}f_W$ ; l'image de $f_W$, qui est engendrée par les colonnes de la matrice $M_W$, est incluse dans $\mathbb{R}^2$ et contient deux vecteurs non-colinéaires (par exemple les deux premières colonnes de la matrice $M_W$) donc a dimension 2.
Finalement, $\operatorname{dim}W=\operatorname{dim}\ker f_W=4-2=2$.

On considère les familles de vecteurs suivantes :
$v_1=\begin{pmatrix}1\\3\\2\\2\end{pmatrix},v_2=\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix},v_3=\begin{pmatrix}0\\0\\1\\2\end{pmatrix}$
$w_1=\begin{pmatrix}-1\\-1\\3\\3\end{pmatrix},w_2=\begin{pmatrix}1\\-1\\3\\1\end{pmatrix}$

• Montrer que $v_1,v_2,v_3$ est une base de $V$, et que $w_1, w_2$ est une base de $W$.

Les vecteurs $v_1,v_2,v_3$ sont trois vecteurs libres ($av_1+bv_2+cv_3=0\Leftrightarrow a=b=c=0$) de $V$ (car leur coordonnées satisfont à l'équation $x-y+2z=w$). La dimension de $V$ est trois, donc $v_1,v_2,v_3$ est une base de $V$.
De même pour $w_1,w_2$. Je ne vais pas écrire plus de détails, parce que essentiellement tout le monde a réussi cette question. Bravo !

• Existe-t-il une application linéaire de $V$ vers $W$ dont le noyau est $\{0\}$ ?

Non ! Une application linéaire $f$ de $V$ vers $W$ est toujours telle que $\dim V=\dim \ker f+\dim \operatorname{Im}f$. Par contre, on sait que $\operatorname{Im}f\subseteq W$, donc $\dim \operatorname{Im}f\leq 2$, dont on obtient $\dim\ker f\geq 3-2=1$ ; la dimension du noyau de $f$ est au moins 1, donc le noyau ne peut dans aucun cas être $\{0\}$.

• Montrer qu'il existe une unique application linéaire $f: V \to W$ telle que
  $f(v_1)=\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix}, \; f(v_2)=\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 6 \\ 4\end{pmatrix}, \; f(v_3)=\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ -6 \\ 0\end{pmatrix}$

Existence et unicité sont une conséquence du fait que $v_1,v_2,v_3$ forment une base de $V$, et que les vecteurs $\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 6 \\ 4\end{pmatrix},\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ -6 \\ 0\end{pmatrix}$ appartiennent à $W$.

• Quelle est la matrice associée à $f$ par rapport aux bases $v_1,v_2,v_3$ et $w_1,w_2$?

Les colonnes de $M$ contiennent les coordonnées des vecteurs $f(v_1), f(v_2), f(v_3)$ par rapport à la base $w_1, w_2$. En faisant les calculs, on obtient
$M=\begin{pmatrix}1 & 1&1\\-1&1&-3\end{pmatrix}$.

• Calculer $f\begin{pmatrix}0\\2\\3\\4\end{pmatrix}$ (exprimer le résultat comme un vecteur de $\mathbb{R}^4$).

On a $\begin{pmatrix}0\\2\\3\\4\end{pmatrix}=v_1-v_2+v_3$, donc $f\begin{pmatrix}0\\2\\3\\4\end{pmatrix}=f(v_1)-f(v_2)+f(v_3)=\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 6 \\ 4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ -6 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -6 \\ 4 \\ -12 \\ -2\end{pmatrix}$.

On pourrait aussi calculer $M\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$ (où $\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$ est le vecteur des coordonnées de $f\begin{pmatrix}0\\2\\3\\4\end{pmatrix}$ par rapport à la base $v_1,v_2,v_3$), ce qui nous donne le vecteur $\begin{pmatrix}1\\-5\end{pmatrix}$. On a donc $f\begin{pmatrix}0\\2\\3\\4\end{pmatrix}=w_1-5w_2=\begin{pmatrix} -6 \\ 4 \\ -12 \\ -2\end{pmatrix}$.

• Quelle est la dimension de $\operatorname{Im}f$ ? En déduire la dimension de $\ker f$.

On sait que $\operatorname{Im}f=\operatorname{Vect}(f(v_1),f(v_2),f(v_3))$ ; on sait aussi que $\dim\operatorname{Im}f\leq \dim W=2$. Comme les vecteurs $f(v_1),f(v_2)$ ne sont pas colinéaires, on déduit que $\dim\operatorname{Im}f=2$.

Par conséquence, on a $\dim\ker f=\dim V-\dim\operatorname{Im}f=3-2=1$.

• Déterminer une base de $\ker f$ (on exprimera les éléments de cette base comme vecteurs de $\mathbb{R}^4$).

On a que $Mv=0$ pour un vecteur $v=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ si et seulement si $a+b+c=0$ et $-a+b-3c=0$, c'est-à-dire pour les vecteurs $v$ de la forme $\begin{pmatrix}-2b\\b\\b\end{pmatrix}$.
Les vecteurs du noyau de $f$ sont donc ceux qui s'écrivent sous la forme $-2bv_1+bv_2+bv_3$ ; en posant $b=1$ on trouve que le vecteur $-2v_1+v_2+v_3=\begin{pmatrix}-1\\-5\\-3\\-2\end{pmatrix}$ forme une base de $\ker f$.