Complementi di Matematica – Esercitazione 9/2/2023

Breve nota: anziché segnare alcuni esercizi come "più difficili" o extra, ho deciso di indicare con ☞ un sottoinsieme degli esercizi "minimale" che consiglio a tutti di assicurarsi di essere capaci di svolgere e – cosa non scontata – scrivere bene. Nessuno dei problemi ☞ dovrebbe porre difficoltà insormontabili (a meno di typo o errori in qualche esercizio, che sono ovviamente possibili e che vi prego di far presenti a esercitazione!). Buon weekend e buon lavoro!

Alcuni esempi di spazi topologici

☞ 16. [Svolto 16/2] (Retta di Sorgenfrey) Su $\mathbb{R}$, si consideri la topologia generata dagli intervalli della forma $[a,b)$ con $a<b$. Mostrare che è una topologia strettamente più fine di quella standard (gli aperti "normali" sono tutti aperti in questa topologia, ma non viceversa). Quali sottoinsiemi in questa topologia sono connessi? Cosa riuscite a dire sui sottoinsiemi compatti in questa topologia?

☞ 17. [Svolto 16/2] (Topologia d'ordine) Dato un insieme $X$ dotato di un ordine totale $<$, la topologia d'ordine su $X$ è quella generata dagli insiemi della forma $\{x\in X\mid x<a\}$ e $\{x\in X\mid a<x\}$, dove $a\in X$. Ad esempio, la topologia di $\mathbb{R}$ è la sua topologia d'ordine per l'ordinamento standard. Mostrare un esempio di sottoinsieme di $\mathbb{R}$ la cui topologia indotta non sia quella d'ordine.

18. [Svolto 16/2] (Topologia di Zariski) Sia $\mathbb{F}$ un campo. Dato un insieme $S$ di polinomi in $\mathbb{F}[x_1,\ldots,x_n]$, chiamiamo $V(S)\subseteq \mathbb{F}^n$ l'insieme degli zeri comuni a tutti gli elementi di $S$ ($\underline{x}\in V(S) \iff \forall p\in S$ $p(\underline{x})=0$). Dimostrare che la collezione di sottoinsiemi di $\mathbb{F}^n$ che sono della forma $V(S)$ per un qualche $S\subseteq\mathbb{F}[x_1,\ldots,x_n]$ è l'insieme dei chiusi di una topologia su $\mathbb{F}^n$, detta topologia di Zariski. Mostrare che lo spazio $\mathbb{F}^n$ dotato di tale topologia non è T2 (cioè Hausdorff) a meno che $\mathbb{F}$ non sia finito (nel qual caso, in cosa consiste la topologia di Zariski?) Dimostrare che, se $\mathbb{F}$ è infinito, interpretando $\mathbb{F}^{n^2}$ come l'insieme delle matrici $n\times n$ a coefficienti in $\mathbb{F}$, le matrici invertibili sono dense in $\mathbb{F}^{n^2}$ per la topologia di Zariski. Utilizzare questo fatto per dimostrare il Teorema di Binet.

☞ 19. [Svolto 16/2] Per tutte le possibili coppie di spazi della lista seguente, esibire un omeomorfismo fra i due o dimostrare che i due spazi non sono omeomorfi: $\mathbb{R}, [0,1], [0,1), (0,1), S^1, S^2, \mathbb{R}^2$.
20. Dimostrare che $\mathbb{R}^2$ ed $\mathbb{R}^3$ non sono omeomorfi (pensateci, ma questo è più difficile di quanto non sembri e certamente facoltativo)!

Compattezza, connessione

☞ 21. [Svolto 16/2] Dimostrare che un compatto in uno spazio T2 è chiuso e fornire un esempio di un compatto non chiuso. Dimostrare che una funzione continua e bigettiva da uno spazio compatto a uno spazio T2 è un omeomorfismo. L'affermazione rimane vera rilassando l'ipotesi "compatto" o l'ipotesi "T2"?
☞ 22. [Svolto 16/2] Dimostrare che, data una successione di compatti chiusi non vuoti "annidati" $(K_i)_{i\in\mathbb{N}}$ in uno spazio topologico $X$ tale che per $i\in\mathbb{N}$ $K_{i+1}\subseteq K_i$, l'intersezione $\cap_{i\in\mathbb{N}}K_i$ è non vuota. Si può eliminare la condizione "compatti"? Si può eliminare la condizione "chiusi"? (Questo è un lemma IMPORTANTE che forse avrete visto o vedrete a lezione: siate capaci di dimostrarlo e tenetelo presente come strumento da usare!)
☞ 23. [Svolto 16/2] Esiste una funzione continua bigettiva da $(0,1)$ in $[0,1]$?
☞ 24. L'insieme $\mathbb{R}^2\setminus r$, dove $r$ è una retta, è connesso? L'insieme $\mathbb{C}^2\setminus r$, dove $r$ è un sottospazio affine di dimensione (su $\mathbb{C}$) 1, è connesso?
25. Dimostrare che la chiusura dell'insieme $\{(x,\sin(1/x)\mid x\in (0,1]\}$ è connessa, ma non connessa per archi.

Topologia prodotto

☞ 26. Dimostrare che le proiezioni per la topologia prodotto sono continue e aperte. Dimostrare che una funzione da uno spazio topologico a un prodotto di spazi topologici è continua se e solo se lo sono le sue composizioni con le proiezioni canoniche.
☞ 27. Dimostrare che prodotto di T2 è T2 e che prodotto di connessi è connesso. Dimostrare che il prodotto di due spazi compatti è compatto.
28. Dimostrare che, con la box topology generata da tutti i rettangoli (e non dai soli insiemi cilindrici) il prodotto di spazi topologici compatti non è necessariamente compatto. Dimostrare che la funzione $x\mapsto (x,x,x,\ldots)$ da $\mathbb{R}$ in $\mathbb{R}^\omega$ è continua se su $\mathbb{R}^\omega$ si considera la topologia prodotto, ma non se su $\mathbb{R}^\omega$ si considera la box topology.
29. Dimostrare che lo spazio $\{0,1\}^\omega$ con la topologia prodotto (di una quantità numerabile di copie della topologia discreta su $\{0,1\}$) è omeomorfo all'insieme di Cantor con la topologia indotta dalla topologia di $\mathbb{R}$.
30. [Parzialmente svolto 16/2] Ecco una caratterizzazione alternativa forse un po' sorprendente della compattezza. Dimostrare che uno spazio topologico $X$ è compatto se e solo se per ogni spazio topologico $Y$ la proiezione $\pi_Y: X\times Y \to Y$ è chiusa.