Complementi di Matematica – Esercitazione 16/2/2023

Spazi metrici e topologie indotte

☞ 31. Dato uno spazio metrico $(X,d)$, sia $\phi:\mathbb{R}_{\geq 0}\to\mathbb{R}_{\geq 0}$ una funzione debolmente crescente e subadditiva, cioè tale che si abbia $\phi(t)+\phi(s)\geq\phi(t+s)$ per $t,s\geq 0$, tale che $\phi^{-1}(0)=\{0\}$. Mostrare che $\phi\circ d$ è ancora una distanza su $X$. Mostrare che se $\phi$ è continua in 0 allora la topologia generata da $d$ è la stessa della topologia generata da $\phi\circ d$. Il viceversa è vero?
☞ 32. Sia $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ una successione di elementi di uno spazio vettoriale $V$ dotato di una distanza ultrametrica (vedi definizione nelle note) $d$ che sia invariante per traslazioni e lo renda completo; si dimostri che la serie (i.e. la successione delle somme parziali) degli $a_n$ converge in $(V,d)$ se e solo se $a_n\to 0$ in $(V,d)$.
33. Sia $V$ uno spazio vettoriale su $\mathbb{R}$. Una norma su $V$ è una funzione $\|\cdot\|:V\to\mathbb{R}_{\geq 0}$ tale che valgano: $\|v\|=0$ se e solo se $v=0$; $\|\lambda v\|=|\lambda|\|v\|$ per ogni $\lambda\in \mathbb{R}, v\in V$; $\|v+w\|\leq \|v\|+\|w\|$ per ogni $v,w\in V$.
Dimostrare che, se $\|\cdot\|$ è una norma, allora $d(v,w)=\|v-w\|$ è una distanza su $V$. Dimostrare che, date due norme su uno spazio $V$ di dimensione finita, le loro distanze corrispondenti sono bi-Lipschitz equivalenti. La conclusione vale anche per $V$ di dimensione infinita?
☞ 34. Mostrare che $\mathbb{R^2}\setminus\{0\}$ (con la metrica euclidea) e $S^1\times \mathbb{R}$ (con la metrica prodotto fra la metrica geodetica e quella euclidea) sono omeomorfi (per le rispettive topologie indotte) ma non isometrici.
35. Fornire, se esiste, un esempio di uno spazio topologico compatto ma non sequenzialmente compatto e un esempio di spazio topologico sequenzialmente compatto ma non compatto.
36. Sia $(X,d)$ uno spazio metrico tale che ogni funzione continua da $X$ in $\mathbb{R}$ abbia massimo. Dimostrare che $X$ è compatto.

Razionali e interi $p$-adici

☞ 37. Su $\mathbb{Q}$, si consideri la distanza $p$-adica descritta dalle note del corso. Si dimostri che è una ultrametrica (vedi note) e che $\mathbb{Q}$ non è completo per questa distanza. Sia $\mathbb{Q}_p$ un completamento del suddetto spazio metrico; dimostrare che le palle chiuse in $\mathbb{Q}_p$ (i.e. gli insiemi della forma $B(x,p^{-r})=\{y\in \mathbb{Q}_p \mid |x-y|_p\leq p^{-r}\}$, con $r$ intero positivo) sono sia chiuse che aperte. Dimostrare che $\mathbb{Q}_p$ (con la topologia indotta dalla distanza $p$-adica) è totalmente disconnesso e T2.
38. Si dimostri che lo spazio metrico $\mathbb{Z}_p\subset \mathbb{Q}_p$ degli interi $p$-adici, dato dalla palla $B(0,1)$ nella notazione dell'esercizio precedente, è compatto e omeomorfo a $B(x,p^{-r})$ per qualunque intero $r$ e $x\in\mathbb{Q}_p$.

La distanza di Hausdorff

☞ 39. Sia $(X,d)$ uno spazio metrico e siano $C_1,C_2\subseteq X$ due chiusi disgiunti. Dimostrare che esiste una funzione continua $f:X\to\mathbb{R}$ tale che $f|_{C_1}\equiv 1$ e $f|_{C_2}\equiv 0$. Dedurre che esistono due aperti disgiunti $U_1, U_2$ tali che $C_1\subset U_1$, $C_2 \subset U_2$.
40. La tesi dell'esercizio 39 è vera per ogni spazio topologico T2?
41. Sia $(X,d)$ uno spazio metrico. Sia $\mathcal{B}(X)$ l'insieme dei chiusi limitati di $X$ (cioè dei chiusi $C$ tali che $\sup_{x,y\in C}d(x,y)<\infty$). Dato $C\in \mathcal{B}(X)$ e $x\in X$, scriviamo $d(x,C)$ per $\inf_{y\in C}d(x,y)$. Si consideri la funzione $d_H:\mathcal{B}(X)^2\to\mathbb{R}$ che manda $(C,C')$ in $\max\{\sup_{x\in C}d(x, C'), \sup_{y\in C'}d(y, C)\}$. Dimostrare che $d_H$ è una distanza su $\mathcal{B}(X)$.
42. Dimostrare che, se $(X,d)$ è compatto, allora $(\mathcal{B}(X),d_H)$ è compatto. Se lo spazio $X$ è completo, è vero che $(\mathcal{B}(X),d_H)$ è completo?
43. Mostrare che le approssimazioni standard della stella di Koch convergono formalmente verso la stella di Koch secondo la distanza $d_H$, e similmente per i soliti chiusi la cui intersezione dà il Cantor.

Metrizzabilità e isometrie

44. Uno spazio topologico è metrizzabile se esiste una metrica sullo spazio che induca la sua topologia. Determinare, per i seguenti spazi, se sono o meno metrizzabili (se sì, esibire una metrica appropriata): qualunque spazio con la topologia discreta; la retta di Sorgenfrey; la topologia di Zariski su $\mathbb{F}^n$ infinito; la topologia d'ordine su $\mathbb{R}^2$ data dall'ordine "$(x,y)>(x',y')$ se e solo se $x>x'$ o $x=x'$ e $y>y'$"; la topologia d'ordine data dall'ordine sopra descritto su $[0,1]\times [0,1]$.
45. Dato uno spazio metrico $(X,d)$, sia $(\ell_{\infty}(X), d_\infty)$ lo spazio metrico delle funzioni da $X$ a $\mathbb{R}$ con la distanza del sup ($d_\infty(f,g)=sup_{x\in X}|f(x)-g(x)|$). Dimostrare che, qualunque sia $X$, $(\ell_{\infty}(X), d_\infty)$ è completo.
46. Dimostrare che qualunque spazio metrico $(X,d)$ è isometrico a un sottoinsieme di $(\ell_{\infty}(X), d_\infty)$ (consiglio: provate a dimostrarlo prima nel caso in cui $X$ sia limitato). Dedurre che ogni spazio metrico la cui cardinalità non sia più che quella di $\mathbb{R}$ si può immergere isometricamente in $(\ell_{\infty}(\mathbb{R}), d_\infty)$.