Complementi di Matematica – Esercitazione 23/2/2023

Come promesso, un set di esercizi un po' più tardivo e un po' più scarno per questa volta!

Sia $f:(X,d_X)\to (Y,d_Y)$ una funzione. Un modulo di continuità per $f$ è una funzione $\omega:[0,\infty)\to [0,\infty]$ debolmente crescente e continua in $0$ tale che si abbia $\omega(0)=0$, $d_Y(f(x),f(y))\leq \omega(d_X(x,y))$ per $x,y\in X$.
47. Dimostrare che $f$ ha un modulo di continuità se e solo se è uniformemente continua.
48. Dimostrare inoltre che, se $f$ ha un modulo di continuità, ne ha uno che sia continuo dove non è infinito.
49. Dimostrare che, se $X$ è un intervallo e $Y$ è $\mathbb{R}$ con la distanza euclidea, $f$ è uniformemente continua se e solo se ammette modulo di continuità finito. Cosa si può dire in generale sull'esistenza o meno di un modulo di continuità finito?

50. Supponiamo che $(Y,d_Y)$ sia completo e consideriamo $f:A\to Y$, dove $A\subseteq X$. Mostrare che, se $f$ è uniformemente continua, allora si estende in modo unico a una funzione $g:\overline{A}\to Y$ continua, che è anche uniformemente continua. Se $\overline{A}$ è compatto si può in effetti caratterizzare così la continuità uniforme: $f$ è uniformemente continua se e solo se si estende a $g:\overline{A}\to Y$ continua.

51. Mostrare (idealmente utilizzando il modulo di continuità!) che se $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ è uniformemente continua, allora esistono costanti positive $C, M$ tali che $|f(x)|\leq C|x|$ per $|x|\geq M$.

52. Dimostrare che se $f:I\to\mathbb{R}$ (con $I$ intervallo) è $\alpha$-Hölderiana con $\alpha>1$ allora è costante.

53. Costruire (se esiste) un esempio di funzione in ciascuna categoria: $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ uniformemente continua ma non Hölderiana; $f$ continua ma non uniformemente continua; $f$ uniformemente continua fra spazi metrici che non sia limitata su ogni limitato; $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ continua e non monotona su nessun intervallo.

54. Dimostrare che esiste una topologia sull'insieme delle funzioni da $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ tale che $f_n\to f$ secondo questa topologia se e solo se le $f_n$ convergono a $f$ puntualmente, ma che non esiste una metrica che induca questa topologia.

55. È vero che, se $f_n\to f$ funzioni da $\mathbb{R}$ in $\mathbb{R}$ convergono uniformemente e le $f_n$ sono uniformemente continue, allora il limite $f$ è uniformemente continuo? È vero se, anziché la convergenza uniforme su $\mathbb{R}$, vale la convergenza uniforme su tutti i compatti $K\subseteq \mathbb{R}$?