Complementi di Matematica – Esercitazione 2/3/2022

Perdonate la lista degli esercizi arrivata tardissimo: avete però un sacco di tempo per pensarci, perché come dicevamo l'altra volta correggeremo esercizi vecchi questo giovedì (chi non ha risposto al questionario potrebbe a questo punto farlo, se possibile entro domani, anche solo segnalando i problemi che vuole vedere corretti se ne ha!). Notate che nella seconda parte di questa mandata ci sono (anche) esercizi sugli argomenti che tratterete oggi a lezione. Vi pubblicherò con calma un'ulteriore mandata di esercizi di calcolo differenziale quando l'avrete fatto, e poi ne correggeremo un po' insieme dopo i colloqui.

Convergenza uniforme

☞ 56. Per le seguenti successioni di funzioni da $\mathbb{R}$ in $\mathbb{R}$, si determini l'insieme dei punti sui quali convergono e se su tale insieme convergono o meno uniformemente:
$f_n(x)=\frac{1}{1+(x-n)^2}$;
$f_n(x)=|x|^{1/n}e^{nx}$;
$f_n(x)=(1-\cos(x/n))^n$;
$f_n(x)=(x^2-x)^n$.

☞ (importante ma non banale) 57. [Svolto il 28/3] Sia $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ una successione di funzioni reali continue su un compatto $K$ di $\mathbb{R}$, decrescente nel senso che per ogni $n$ si abbia $f_{n+1}\leq f_n$ su $K$, che converga puntualmente a una funzione continua $f$ su $K$. Dimostrare che la convergenza è in realtà uniforme. Questo risultato sarebbe vero se non fossimo su un compatto? Se il limite non fosse continuo? Se non si avesse definitivamente $f_{n+1}\leq f_n$?

☞ 58. [Svolto il 28/3] Sia $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ una successione di funzioni reali continue definite su un intervallo chiuso $[a,b]$, ciascuna debolmente crescente, che convergano puntualmente verso una funzione $f$ continua su $[a,b]$. Si dimostri che la convergenza è uniforme.

59. Dimostrare che l'indicatrice dei razionali non è limite puntuale di funzioni continue.

Serie di funzioni

☞ (almeno alcune!) 60. Discutere la convergenza (puntuale/assoluta/uniforme/totale) delle seguenti serie di funzioni

61. [Svolto il 28/3] Sia $f(z)$ la somma della serie di potenze $\sum_{n=0}^\infty a_nz^n$ su $C=\{z\in\mathbb{C}\mid |z|<r\}$. Supponiamo che la serie converga in un punto $z_0=re^{i\theta}\in\partial C$, con somma $S\in\mathbb{C}$. Si provi che allora la serie converge uniformemente nel segmento di estremi $0$ e $z_0$, e che $\lim_{\rho\to r^-}f(\rho e^{i\theta})=S$.
Una volta dimostrato questo, confronta con il più forte Teorema 6.33 delle note del corso!

62. Siano $f_n, g_n$ successioni di funzioni da uno spazio metrico in $\mathbb{R}$ tali che

• la serie delle $f_n$ ha somme parziali uniformemente limitate in $X$;
• $g_n\to 0$ uniformemente su $X$;
• $g_{n+1}\leq g_n$ per ogni $n\in\mathbb{N}$.

Si dimostri che la serie $\sum_{n=0}^\infty f_ng_n$ converge uniformemente su $X$.

63. Sia $\zeta$ una radice primitiva $m$-esima dell'unità per $m\geq 2$; dimostrare che $\sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{\zeta^n}{n^x}$ converge uniformemente sui compatti di $\mathbb{R}_{>0}$.

☞ 64. Si calcoli lo sviluppo in serie delle funzioni $\frac{1}{1-x}$, $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, $\sinh x$, $\cosh x$, $(1+x)^\alpha$, $\cos^2 x$ intorno a 0, se ne determini il raggio di convergenza e l'insieme di convergenza.

65. [Svolto il 28/3] Si dimostri che $1-\frac12+\frac13-\frac14+\ldots=\log(2)$ e che $1-\frac15+\frac17-\frac19+\ldots=\pi/4$.

☞ 66. Data una matrice $n\times n$ su $\mathbb{C}$ definiamo il suo esponenziale $e^A$ come \(\sum_{k=0}^{\infty} A^k/k\). Dimostrare che tale serie converge per ogni $A$ (nel senso della distanza indotta da una qualunque norma su $\mathbb{C}^{n^2}$). Mostrare inoltre che $e^A=\lim_{k\to\infty}(Id+A/k)^k$.

67. Si provi che, se $A$ e $B$ (matrici $n\times n$ su $\mathbb{C}$ come sopra) commutano allora $e^{A+B}=e^Ae^B$. È vero se $A$ e $B$ non commutano? Cosa si può dire sull'invertibilità della matrice $e^A$?

68. Si dimostri che se $f\in C^\infty(\mathbb{R})$ è tale che tutte le sue derivate siano non negative allora è analitica.

☞ 69. Si dimostri che $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ è analitica su tutto $\mathbb{R}$ ma che il suo raggio di convergenza del suo sviluppo centrato in $x_0$ è $\sqrt{1+x_0^2}$.

☞ 70. Calcolare il raggio di convergenza delle seguenti serie di potenze: