Complementi di matematica – Esercitazione del 20/4

Equazioni differenziali

83. Per ogni punto $(x,y)$ del piano con $x, y>0$ passa un’unica ellisse $4x^2+y^2=a$ (con $a>0$). Descrivere la famiglia di curve che in ogni punto sono ortogonali all’ellisse passante per quel punto.

84. Sia $I$ un intervallo aperto. Sia $F:I\times \mathbb{R}\to(0,\infty)$ una funzione continua positiva, e sia $f:I\to\mathbb{R}$ una funzione differenziabile che risolve l’equazione differenziale $(f'(x))^2=F(x,f(x))$: mostrare che o $x$ è sempre crescente, nel qual caso si ha $f'(x)=\sqrt{F(x,f(x))}$ per ogni $x$, oppure è sempre decrescente, nel qual caso si ha $f'(x)=-\sqrt{F(x,f(x))}$; dunque $f$ è di classe $C^1$.

85. Descrivete tutte le funzioni $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ differenziabili che risolvono $(f'(x))^2+f(x)^2=1$; mostrare che sono $C^1$ e in effetti $C^\infty$ a tratti.

86. Sia $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ una funzione $C^2$ tale che $f(0)=f(1)=0$ e $f'(x)=f(x)f''(x)$ per ogni $x\in [0,1]$. Si provi che la funzione $f$ è identicamente nulla.

87. Determinare la soluzione generale dell’equazione differenziale
$u'(t)=\frac{t^2+3u(t)^2}{2tu(t)}.$

88. Discutere le soluzioni di
$\left\{\begin{array}{l}y'(x)=(y(x)-x)^3\\y(0)=a\end{array}\right.$
studiandone in modo qualitativo l’esistenza (locale o globale) delle soluzioni, le proprietà di monotonia e convessità/concavità.

89. Per il problema di Cauchy
$\left\{\begin{array}{l}y'(x)=\frac{1}{y(x)^2+x^2}\\y(0)=1\end{array}\right.$
mostrate che esiste unica la soluzione globale $y:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, e che $y$ è limitata e esistono finiti i limiti $\lim_{x\to\infty}y(x)$ e $\lim_{x\to-\infty}y(x)$.

90.Discutete l’equazione differenziale
$\left\{\begin{array}{l}y'(x)=\frac{1}{y(x)-x^2}\\y(0)=a\end{array}\right.$
per $a\neq 0$, studiando in modo qualitativo l’esistenza (locale o globale) delle soluzioni, le proprietà di monotonia e convessità/concavità. Mostrate che la soluzione esiste per tutti i tempi positivi, ma che per $a>0$ non si estende a tutti i tempi negativi. Mostrate che esiste un $\tilde{a}<0$ critico tale che, per $\tilde{a}<a<0$ la soluzione non si estende a tutti i tempi negativi, mentre per $a\leq \tilde{a}$ la soluzione esiste per tutti i tempi negativi; inoltre per $a=\tilde{a}$ si ha $\lim_{x\to -\infty}y(x)-x^2=0$.

91. Consideriamo l’equazione differenziale $u'(t)=a(t)u(t)^2$, dove $a:\mathbb{R}\to [0,\infty)$ è una funzione continua. Dimostare che tutte le soluzioni con $u(0)>0$ esplodono in tempo finito se e solo se $\int_0^{\infty}a(t)dt=\infty$. L'ipotesi che $a\geq 0$ è davvero necessaria?

92. Si consideri il problema di Cauchy $u'(t)=f(u(t))$, $u(0)=\alpha>0$, dove $f:(0,\infty)\to (0,\infty)$ è una funzione continua. Dimostrare che c'è esistenza globale (nel futuro) se e solo se $\int_{\alpha}^\infty\frac{1}{f(x)}dx=+\infty$,

93. Consideriamo l’equazione differenziale $u''(t)-7u(t)=f(t)$. Dimostrare che, se $f(t)$ è una funzione continua e limitata, allora l’equazione ammette esattamente una soluzione limitata su tutta la retta.

Consideriamo l’equazione differenziale $u''(t)+7u(t)=f(t)$. Dimostrare che esiste una funzione $f(t)$ continua e limitata e tale che l’equazione non ammette nessuna soluzione limitata su tutta la retta.

94. Consideriamo l’equazione differenziale
$u'(t)+a(t)u(t)=f(t)$,
dove $a$ è un parametro reale ed $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ è una funzione continua.

• Dimostrare che, se $a\neq 0$ e $f(t)$ è limitata allora l’equazione ammette sempre esattamente una soluzione limitata su tutta la retta.
• Dimostrare che, se $a = 0$, allora le soluzioni sono tutte limitate o tutte illimitate, ed entrambi i casi si possono realizzare per opportune scelte di $f(t)$.
• Dimostrare che, qualunque sia il valore di $a$, se $f(t)$ è periodica allora l’equazione ammette esattamente una soluzione periodica.

95. Determinare la soluzione generale dell’equazione differenziale
$u'(t)=\frac{u(t)}{t+u(t)^2}.$