Complementi di Matematica – Induzione transfinita

Induzione transfinita. Data una proprietà $P$, se per ogni ordinale $\alpha$ si ha

se per ogni ordinale $\beta<\alpha$ vale $P(\beta)$ allora vale $P(\alpha)$

allora la proprietà $P$ vale per tutti gli ordinali.

Esercizi

• Costruire una base di $\mathbb{R}$ su $\mathbb{Q}$ per induzione transfinita.
• Dimostrare che esiste un insieme $S$ di punti del piano $\mathbb{R}^2$ tali che ogni retta nel piano contenga esattamente due punti di $S$.
• Dimostrare che esiste una funzione $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ che non sia monotona su nessun sottoinsieme di $\mathbb{R}$ della cardinalità del continuo.
• Dimostrare che ogni funzione da $\mathbb{R}$ in $\mathbb{R}$ si scrive come somma di due bigezioni da $\mathbb{R}$ in $\mathbb{R}$.