Problème 2. On considère la droite de d'équation ; soit l'application linéaire qui à chaque vecteur du plan associe son symétrique par rapport à cette droite.
- Déterminer la matrice associée à l'application par rapport à la base canonique de (au départ et à l'arrivée).
Soit la base canonique de . Les colonnes de la matrice sont les vecteurs (exprimés dans la base canonique), donc on a simplement
.
- Montrer que la matrice (c'est-à-dire le produit entre la matrice et elle même) est la matrice identité.
On a bien .
- On considère la matrice ; quel est le noyau de l'application linéaire correspondante ? Quelle est son image ?
On a
L'application linéaire correspondante a comme image l'espace engendré par les colonnes de cette matrice, c'est-à-dire la droite engendrée par (autrement dit, la droite ).
Le noyau de est l'ensemble des vecteurs tels que , c'est à dire tels que . Il s'agit donc de la droite par rapport à laquelle on avait pris les symétriques.
- Montrer que tout vecteur de est orthogonale à tout vecteur de l'image de .
Un vecteur de est de la forme et un vecteur de l'image de de la forme . Leur produit scalaire est .
- Déterminer la matrice associée à par rapport à la base (au départ et à l'arrivée).
Les colonnes de la matrices sont les images des vecteurs donnés, exprimées en coordonnées par rapport à la base , que l'on va appeler .
On a ; les coordonnées de par rapport à la base sont , donc la première colonne de la matrice sera . On a , qui a coordonnées . La matrice cherchée est donc .
On sait que l'application linéaire qui à chaque vecteur du plan associe son image par une rotation d'un angle autour de l'origine est représentée par la matrice (par rapport à la base canonique).
- Montrer que pour tout et tout le vecteur a la même norme que le vecteur .
Soit , alors ; la norme de est la racine carrée de . Comme pour tout , la norme de est , c'est-à-dire la norme de .
- Montrer que pour tout on a .
Remarquez que ça revient à dire que symétriser par rapport à la droite , faire une rotation de et puis symétriser encore une fois donne le même résultat que faire seulement une rotation de dans le sens inverse, ce qui se voit bien géométriquement.
On peut aussi faire le calcul: on a
.
- Montrer que pour tout on a .
On a montré que , donc .
La dernière égalité est claire du point de vue des applications linéaire correspondantes, qui sont l'une l'inverse de l'autre, mais peut aussi être montrée en faisant les calcul du produit matriciel.